Правилна монета се хвърля последователно 3 пъти

[Nati]

1.Правилна монета се хвърля последователно 3 пъти, Дефинираме събитията А = {при първото хвърляне се пада ези}, В = (падат поне 2 езита при трите опита} и С = {един и същ резултат при трите хвърляния}. Разглеждаме двойките А и В, А и С, В и С. Да се провери дали във всеки от тези три случая събитията са независими.
2.Колко пъти трябва да се хвърлят два зара, за да може с вероятност по-голяма от 1/2, да се очаква поне веднъж сумата от точките да е равна на 12 (задача на дьо Мере)?
3. В урна има N топки, всяка от които с еднаква вероят¬ност може да бъде бяла или черна. Последователно са били из¬вадени с връщане n топки. Каква е вероятността урната да съдържа само бели топки, ако черни топки не са се появили?

[peyo]

3. В урна има N топки, всяка от които с еднаква вероят¬ност може да бъде бяла или черна. Последователно са били из¬вадени с връщане n топки. Каква е вероятността урната да съдържа само бели топки, ако черни топки не са се появили?

Тази задача изглежда трудна, защото няма да съм сигурен в отговора докато не направя симулация. Да видим!

В началото преди ваденето, вероятността всички да са бели е:
$P_w = \frac{1}{2^N}$

Вероятността на извадим n бели с връщане oт k бели от N общо е:

$P(N,k,n)= \left( \frac{k}{N} \right)^n$

Хм. Това дотук с нищо не ни помага.

А какво ще стане ако условието на задачата беше без връщане? Да видим:

$P = \frac{1}{2^{N-n}}$

Много хубава формула. А дали тази формула не е отговора и на нашата задача? Каква е разликата с връщане или без връщане? Може би никаква. И тук допираме до необходимостта от симулация.

Код: Избери целия код

from random import randint
T=1000000
N,n = 12,7
izt_beli, samo_beli=0,0
for _ in range(T):
   tp = [randint(0,1) for x in range(N)]
   shuffle(tp)
   if tp[:n] == [0]*n: # n beli iztegleni
      izt_beli += 1
   if tp == [0]*N:
      samo_beli += 1
print( samo_beli, izt_beli, samo_beli/ izt_beli)


247 7762 0.031821695439319765

In [23]: 1/(2**(12-7))
Out[23]: 0.03125

Много добро приближение бих казал и изглежда отгатнахме верния отговор, с което задачата е решена.