Задачи закачки - вероятности

[Гост]

От 50 изделия 40 са с първо качество. Избират се три изделия. Каква е вероятността поне две да са с първо качество?
Зар се хвърля два пъти. Да се определи вероятността числото 1 да се появи два пъти? Да се появи поне един път?

Имам и още! :Р

[peyo]

От 50 изделия 40 са с първо качество. Избират се три изделия. Каква е вероятността поне две да са с първо качество?

Значи търсим вероятността 2 или 3 да са първо качество.
3 да са е (40/50)*(39/49)*(38/48)
Първите 2 да са а третото не е: (40/50)*(39/49)*(10/48)
Такива комбинации от имаме 3 броя. И така всичко става:

(40/50)*(39/49)*(38/48) + 3*(40/50)*(39/49)*(10/48) = 0.9020408163265308

Зар се хвърля два пъти. Да се определи вероятността числото 1 да се появи два пъти? Да се появи поне един път?

2-пъти от 2 хвърляния е (1/6)*(1/6) = 0.027777777777777776
1 път от 2 е (1/6)*(5/6) + (5/6)*(1/6) = 0.2777777777777778

[Elitt0]

Здравейте,
тази с изделията съм я решила по друг начин като съм търсила n=C=(50*49*48)/(1*2*3) и m = (40*39/1*2) * (10/1) и после P(A) = m/n = 0,36 (закръглено до втория знак) затова и я предложих като интересна.

Благодаря за отделеното време!
Имам още една интересна със студенти и една с кутии.

В лаборатория работят 5 студента от една специалност, 7 - от втора специалност и 3 - от трета специалност. Избират се случайно двама студенти. каква е вероятността двамата да са:
А) от една и съща специалност;
Б) от различни специалности.

Две кутии имат следния състав: кутия едно съдържа 6 бели и 4 черни топки, а кутия две - 5 бели и 7 черни топли. от ПРОИЗВОЛНО избрана кутия се избира една топка.
А) да се определи вероятността топката да е бяла.
Б) да се определи вероятността извадената топка да е от ВТОРАТА КУТИЯ.

Второто условие е много ме обърква.

[peyo]

Здравейте,
тази с изделията съм я решила по друг начин като съм търсила n=C=(50*49*48)/(1*2*3) и m = (40*39/1*2) * (10/1) и после P(A) = m/n = 0,36 (закръглено до втория знак) затова и я предложих като интересна.

Здрасти Elitt0! Не разбрах това решение, същия отговор ли получи като мен?

В лаборатория работят 5 студента от една специалност, 7 - от втора специалност и 3 - от трета специалност. Избират се случайно двама студенти. каква е вероятността двамата да са:
А) от една и съща специалност;

(5/15)*(4/14) + (7/15)*(6/14) + (3/15)*(2/14) = 0.32380952380952377

Б) от различни специалности.

1 - 0.32380952380952377 = 0.6761904761904762

Две кутии имат следния състав: кутия едно съдържа 6 бели и 4 черни топки, а кутия две - 5 бели и 7 черни топли. от ПРОИЗВОЛНО избрана кутия се избира една топка.
А) да се определи вероятността топката да е бяла.

(1/2)*(6/10) + (1/2)*(5/12) = 0.5083333333333333

Б) да се определи вероятността извадената топка да е от ВТОРАТА КУТИЯ.
Второто условие е много ме обърква.

Да това не е много ясно какво се търси.
Ако търсим вероятността да изберем втората кутия, то тя е 1/2.
Ако търсим вероятността изтеглената бяла топка да е от втората кутия, то ще изчислим тази вероятност като знаем колко "по-тежка" е втората кутия в сравнение с първата.

(5/12)/(6/10 + 5/12) = 0.40983606557377056

[Elitt0]

Здравейте,
Вашето решение на задачата с изделията е вярната.

На задачата с кутиите Б) условие, от говора е 0,40984. Моят отговор е същия, но съм минала през всички етапи (формула на Бейс).

Взех си от библиотеката, помагало по висша математика от 1989 г., прекрасни задачки-закачки.

Имам и две, която са монети, но не са толкова интересни като с топките.
Монета се хвърля 9 пъти. Да се намери вероятността:
а) точно 3 пъти да се появи герб
б) най-много 3 пъти да се появи герб
в) поне веднъж да се появи герб.

Монета се хвърля 100 пъти. Да се намери най-вероятния брой за появата на герб.

[Elitt0]

Единственото по-интересно в тези задачи е условие Б) аз лично не мога да изведа формула.


Имам и две, която са монети, но не са толкова интересни като с топките.
Монета се хвърля 9 пъти. Да се намери вероятността:
а) точно 3 пъти да се появи герб
[b]б) най-много 3 пъти да се появи герб[/b]
в) поне веднъж да се появи герб.

Монета се хвърля 100 пъти. Да се намери най-вероятния брой за появата на герб.

[peyo]

Единственото по-интересно в тези задачи е условие Б) аз лично не мога да изведа формула.


Имам и две, която са монети, но не са толкова интересни като с топките.
Монета се хвърля 9 пъти. Да се намери вероятността:
а) точно 3 пъти да се появи герб
[b]б) най-много 3 пъти да се появи герб[/b]

Това ми прилича да можем да ползваме:
https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution#Probability_mass_function

[tex]P(X\le 3) = \sum_{i=0}^{3 } {9 \choose i} 0.5^i 0.5^{9-i}[/tex]

In [116]: sum( [ scipy.special.binom(9,i)*0.5**i*0.5**(9-i) for i in range(3+1) ] )
Out[116]: 0.25390625

в) поне веднъж да се появи герб.

Монета се хвърля 100 пъти. Да се намери най-вероятния брой за появата на герб.

Тук сигурно трябва да търсим максимума на Probability mass function на Binomial distribution и готово...

[peyo]

Монета се хвърля 100 пъти. Да се намери най-вероятния брой за появата на герб.

Тук сигурно трябва да търсим максимума на Probability mass function на Binomial distribution и готово...

[tex]P(x) = {100 \choose x} 0.5^x 0.5^{100-x}[/tex]

Търсим максимума на горната функция. Производна ми се струва, че ще е трудно да намерим, защото ще имаме производни на факториели, което сигурно е сложно.

Вероятно можем да решим задачата заради симeтрията която е:
$P(x) = P(100-x)$

Но вместо това ще накараме компютъра да го изчисли:

In [124]: max( (scipy.special.binom(100,x)*0.5**x*0.5**(100-x),x) for x in range(100+1) )
Out[124]: (0.079589237387178727, 50)

x се оказа 50!

[Elitt0]

Здравейте,

за монетата със 100 хвърляния сте напълно прав.

Но за другата задача отговорът Ви по-скоро се отнася за условие а) точно три пъти да се падне герб;

Аз намерих подобна задача с дадени отговори, без решение и започва да ми става все по-интересно. Напълно сте прав, че става въпрос за Бернули бинарно разпределение.
При дадени следните данни:
n - 6
k - 2
q - 0,5
p - 0,5
условие Б) най-много 2 пъти да се появи герб, отговора е б) 0.984
условие В) поне веднъж, отговора е в) 0.738