Задача за 7 клас

[Sijei]

Всяко цяло число е оцветено в бяло, зелено или червено, като
поне едно число е зелено. При това:
- ако х е бяло, то х + 1 е зелено;
- ако х е зелено, то х + 1 е червено;
- ако х е червено и у е зелено, то х + у е бяло.
Да се определи как е оцветено числото 0 и цветовете на останалите цели числа от -6 до 6 включително.

[pipi langstrump]

Ако 0та е зелена, 1 е червено, а 1+0 = 1 е бяло, противоречие, значи не е зелена.
Ако 0та е червена, да допуснем, че:
а) 1 е бяло, тогава 2 е зелено, а 2 +0 = 2 е бяло - противоречие, значи 1 не е бяло
б) 1 е зелено, то 1+0= 1 е бяло, пак противоречие
в) 1 е червено. Тогава за 2 по същите разсъждения като в а) и б) виждаме, че може е само червено. Така индуктивно се убеждаваме, че ако 0та е червена, то всички числа трябва да са червени (за отрицателните числа важат почти същите разсъждения), което противоречи на условието за съществуване на зелено число.
Следователно нулата е бяла и съгласно условието положителните числа са наредени в реда бяло, зелено, червено (може да се докаже коректността му).
За наредбата на отрицателните числа - ако допуснем, че -1 е бяло, то нулата ще е зелена, което е противоречие. Ако е зелено, ще излезе, че е червена - пак противоречие. Значи може да е само червено и действително -1 + 3k + 1 = 3k. С подобни разсъждения се убеждаваме, че -2 е зелено, а - 3 - бяло, т.е. подредбата на отрицателните числа е червено, зелено, бяло.