Задачи по вероятности и статистика

[Ivanova1]

Здравейте, имам нужда от помощ със следните задачи. Бих била благодарна да ми помогнете.
Задача 1: Каква е вероятността корените на квадратното уравнение
х2 + 2ах + b = 0 да са реални, ако стойностите на коефициентите са равновероятни в правоъгълника –k ≤ a ≤ k, –m ≤ b ≤ m?
Задача 2: В склад има 2 каси с бутилки бира, като касите съдържат съответно:
I каса: общо 9 бутилки, от които 1 с изтекъл срок на годност;
II каса: общо 12 бутилки, от които 3 с изтекъл срок на годност.
а) Ако се вземе по 1 бутилка от всяка каса, да се определи вероятността на събитията:
A = {сред взетите бутилки да няма с изтекъл срок на годност}; и
B = {сред взетите бутилки да има точно 1 с изтекъл срок на годност}.
б) Ако се вземат 5 бутилки от I каса, да се определи вероятността на събитията:
C = {сред взетите бутилки да има точно 1 с изтекъл срок на годност}; и
D = {сред взетите бутилки да има поне 2 с изтекъл срок на годност}.
в) Ако в I каса се добави още една бутилка, за която не се знае дали е с изтекъл срок, и след това се избере по случаен начин една бутилка от тази каса, то да се определи вероятността тази бутилка да не е с изтекъл срок на годност.
Задача 3: Трима души последователно хвърлят монета. Печели този, който пръв хвърли герб. Да се пресметне Вероятността за печалба на всеки от играчите.
Задача 4: Социологическо проучване е установило, че вероятността, за развод през първите 10 години от брака е 0,4.
а) Намерете средната стойност и стандартното отклонение на броя на разводите в първите 10 години на 1000 семейства.
б) Каква е вероятността при случайно избрани 6 новобрачни двойки нито една да не се разведе през първите 10 години?
Задача 5: Правят се изпитания относно изправността на 8 апарата. Вероятността един апарат да е изправен е 0,7. Ако случайната величина ξ се дефинира като броя на изправните измежду осемте апарата, да се определят закона на разпределение на ξ,математическото очакване Еξ, дисперсията Dξ, най-вероятната стойност на ξ и P{2 ≤ ξ ≤ 4}.
Задача 6: Машина произвежда детайли като вероятността произведен детайл да се окаже дефектен е 0.1. Контрольор по качеството проверява произведените детайли, докато се появи дефектен. Ако случайната величина ξ е равна на броя на недефектните детайли, проверени от контрольора, да се определят законът на разпределение на ξ, математическото очакване Eξ, дисперсията Dξ и стойността Fξ(2).

[peyo]

Задача 1: Каква е вероятността корените на квадратното уравнение
х2 + 2ах + b = 0 да са реални, ако стойностите на коефициентите са равновероятни в правоъгълника –k ≤ a ≤ k, –m ≤ b ≤ m?

Колко интересна задача!

Корените са:

$\left[ - a - \sqrt{a^{2} - b}, \ - a + \sqrt{a^{2} - b}\right]$

Трябва $a^{2} - b \ge 0$ или $a^{2} \ge b$

Да си представим как изглежда картинката:

djghkdjkdjghdkjghf.png (835.59 KiB) Прегледано 616 пъти

И така отговора на задачата се свежда до това какво е отношението на бялата част спрямо синята в правоъгълника? Да го изчислим!

Точката B има координато (k,m). Точката Е:
$m=x^2$ , $x=\sqrt{m}$

Точката E има координато ($\sqrt{m}$,m).

Площта под параболата от 0 до Е е:

[tex]S_1 = \int\limits_{0}^{\sqrt{m}}x^2 dx = x^3/3 ... = \frac{m^{\frac{3}{2}}}{3}[/tex]

(В горните формули x e друго x, не това от условието).

И така търсения отговор е:

$ p = \frac{ \frac{m^{\frac{3}{2}}}{3} + (k-\sqrt{m})m + km}{2km} $

Но това е случая когато точката B е в синята част. Когато е в бялата, то може би формулата е друга. Решава се аналогично.

Получихме учудващо сложна формула за такъв прост проблем. Може би имаме грешка някъде? Може би нямаме. Като всяка задача с вероятности, можем да сме сигурни в отговора когато направим симулация! Да видим:

In [118]: f = (m**(3/2)/3+(k-sqrt(m))*m + k*m)/(2*k*m)

In [119]: float(f.subs(k,3).subs(m,2))
Out[119]: 0.8428651597363226

Код: Избери целия код

In [123]: import random
     ...:
     ...: N,y = 100000000, 0
     ...:
     ...: k,m = 3,2
     ...: for i in range(N):
     ...:   a,b=-k + 2*k*random.random(), -m + 2*m*random.random()
     ...:   if a**2-b>=0:
     ...:     y+=1
     ...: print(N,y,y/N)

100000000 84285156 0.84285156

0.8428651597363226
0.84285156

100М симулации ни дават сътветствие с точност 4 знака след точката. Много добър резултат мисля.

[peyo]

Задача 3: Трима души последователно хвърлят монета. Печели този, който пръв хвърли герб. Да се пресметне Вероятността за печалба на всеки от играчите.

Да видим!
Първия да хвърли герб от първи път е 0.5. Втория е 0.5*0.5. Третия $0.5^3$.
Първия от втори рунд е $0.5^4$. Втория е $0.5^5$. Третия $0.5^6$.
Да сумираме
1-вия: [tex]p_1 = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{2^{3n+1} }[/tex]
2-вия: [tex]p_1 = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{2^{3n+2} }[/tex]
3-вия: [tex]p_1 = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{2^{3n+3} }[/tex]

Да видим дали ще можем да сметнем безкрайните суми.

1-вия: [tex]p_1 = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{2^{3n+1} } = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{2\ 2^{3n} } = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{ 8^{n} }[/tex]

Последното много прилича на сумата на безкрайна геометрина прогресия и наговото ще използваме формулата за това:

1-вия: [tex]p_1 = \frac{1}{2} \frac{1}{ 1 - \frac{1}{8} } = \frac{4}{7}[/tex]

Аналогично втория:

2-рия: [tex]p_2 = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{2^{3n+2} } = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{4\ 2^{3n} } = \frac{1}{4} \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{ 8^{n} }= \frac{1}{4} \frac{1}{ 1 - \frac{1}{8} } = \frac{2}{7}[/tex]

3-тия: [tex]p_2 = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{2^{3n+3} } = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{8\ 2^{3n} } = \frac{1}{8} \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{ 8^{n} }= \frac{1}{8} \frac{1}{ 1 - \frac{1}{8} } = \frac{1}{7}[/tex]

И по смешно стечение на обстоятелствата : [tex]\frac{4}{7} + \frac{2}{7} + \frac{1}{7} = 1[/tex]

Което ни кара да мислим, че може би отговора е верен.

[peyo]

Задача 2: В склад има 2 каси с бутилки бира, като касите съдържат съответно:
I каса: общо 9 бутилки, от които 1 с изтекъл срок на годност;
II каса: общо 12 бутилки, от които 3 с изтекъл срок на годност.
а) Ако се вземе по 1 бутилка от всяка каса, да се определи вероятността на събитията:
A = {сред взетите бутилки да няма с изтекъл срок на годност}; и
B = {сред взетите бутилки да има точно 1 с изтекъл срок на годност}.
б) Ако се вземат 5 бутилки от I каса, да се определи вероятността на събитията:
C = {сред взетите бутилки да има точно 1 с изтекъл срок на годност}; и
D = {сред взетите бутилки да има поне 2 с изтекъл срок на годност}.
в) Ако в I каса се добави още една бутилка, за която не се знае дали е с изтекъл срок, и след това се избере по случаен начин една бутилка от тази каса, то да се определи вероятността тази бутилка да не е с изтекъл срок на годност.

а)
А = 1 - {и двете бутилки стават за пиене} = 1 - (8/9)*(9/12) = 1/3
B = {първата не става за пиене} или { втората не става за пиене} = 1/9 + 3/12 = 13/36
б)
(В каса I има само една лоша бира. Тази подточка щеше да е по-интересна, ако беше за II каса)
C = {каква е вероятността да сложим лошата бира в едно от 5-те места от 9} = 5/9
D = {каква е вероятността да вземем 2 когато има само една} = 0
в)
Нека вероятността новата бутилка да е с изтекъл срок означим с [tex]\mu[/tex]. Тогава:
p = {вероятността да изберем една от оригиналните 9} * { вероятността да е добра} + {вероятността да изберем новата бутилка} * { вероятността да е добра} = (9/10)(8/9) + (1/10)(1-$\mu$) = 9/10 - $\mu$/10

[Гост]

Задача 2: В склад има 2 каси с бутилки бира, като касите съдържат съответно:
I каса: общо 9 бутилки, от които 1 с изтекъл срок на годност;
II каса: общо 12 бутилки, от които 3 с изтекъл срок на годност.
а) Ако се вземе по 1 бутилка от всяка каса, да се определи вероятността на събитията:
A = {сред взетите бутилки да няма с изтекъл срок на годност}; и
B = {сред взетите бутилки да има точно 1 с изтекъл срок на годност}.
б) Ако се вземат 5 бутилки от I каса, да се определи вероятността на събитията:
C = {сред взетите бутилки да има точно 1 с изтекъл срок на годност}; и
D = {сред взетите бутилки да има поне 2 с изтекъл срок на годност}.
в) Ако в I каса се добави още една бутилка, за която не се знае дали е с изтекъл срок, и след това се избере по случаен начин една бутилка от тази каса, то да се определи вероятността тази бутилка да не е с изтекъл срок на годност.

а)
А = 1 - {и двете бутилки стават за пиене} = 1 - (8/9)*(9/12) = 1/3
B = {първата не става за пиене} или { втората не става за пиене} = 1/9 + 3/12 = 13/36
б)
(В каса I има само една лоша бира. Тази подточка щеше да е по-интересна, ако беше за II каса)
C = {каква е вероятността да сложим лошата бира в едно от 5-те места от 9} = 5/9
D = {каква е вероятността да вземем 2 когато има само една} = 0
в)
Нека вероятността новата бутилка да е с изтекъл срок означим с [tex]\mu[/tex]. Тогава:
p = {вероятността да изберем една от оригиналните 9} * { вероятността да е добра} + {вероятността да изберем новата бутилка} * { вероятността да е добра} = (9/10)(8/9) + (1/10)(1-$\mu$) = 9/10 - $\mu$/10

Бихте ли могли да се обосновите на някои от отговорите? Например ако променим условието така, че в 2-те каси да има по 16 бутилки (каса 1: от 16 има 7 негодни. каса2: от 16 има 9 негодони)
на а)
А = защо е 1 - { и двете става за пиене }?
Б = в този случай на промененото условие с това решение, това значи ли че 100% ще избере поне една негодна?

ако трябва да вземем 6 бутилки от каса 2, каква е вероятността да има точно 2 негодни?

[peyo]

Задача 2: В склад има 2 каси с бутилки бира, като касите съдържат съответно:
I каса: общо 9 бутилки, от които 1 с изтекъл срок на годност;
II каса: общо 12 бутилки, от които 3 с изтекъл срок на годност.
а) Ако се вземе по 1 бутилка от всяка каса, да се определи вероятността на събитията:
A = {сред взетите бутилки да няма с изтекъл срок на годност}; и
B = {сред взетите бутилки да има точно 1 с изтекъл срок на годност}.
б) Ако се вземат 5 бутилки от I каса, да се определи вероятността на събитията:
C = {сред взетите бутилки да има точно 1 с изтекъл срок на годност}; и
D = {сред взетите бутилки да има поне 2 с изтекъл срок на годност}.
в) Ако в I каса се добави още една бутилка, за която не се знае дали е с изтекъл срок, и след това се избере по случаен начин една бутилка от тази каса, то да се определи вероятността тази бутилка да не е с изтекъл срок на годност.

а)
А = 1 - {и двете бутилки стават за пиене} = 1 - (8/9)*(9/12) = 1/3
B = {първата не става за пиене} или { втората не става за пиене} = 1/9 + 3/12 = 13/36
б)
(В каса I има само една лоша бира. Тази подточка щеше да е по-интересна, ако беше за II каса)
C = {каква е вероятността да сложим лошата бира в едно от 5-те места от 9} = 5/9
D = {каква е вероятността да вземем 2 когато има само една} = 0
в)
Нека вероятността новата бутилка да е с изтекъл срок означим с [tex]\mu[/tex]. Тогава:
p = {вероятността да изберем една от оригиналните 9} * { вероятността да е добра} + {вероятността да изберем новата бутилка} * { вероятността да е добра} = (9/10)(8/9) + (1/10)(1-$\mu$) = 9/10 - $\mu$/10

Бихте ли могли да се обосновите на някои от отговорите? Например ако променим условието така, че в 2-те каси да има по 16 бутилки (каса 1: от 16 има 7 негодни. каса2: от 16 има 9 негодони)
на а)
А = защо е 1 - { и двете става за пиене }?
Б = в този случай на промененото условие с това решение, това значи ли че 100% ще избере поне една негодна?

ако трябва да вземем 6 бутилки от каса 2, каква е вероятността да има точно 2 негодни?

Аха! Сгрешил съм B. Да видим новата задача и да я решим правилно точ път:

I каса: общо 16 бутилки, от които 7 с изтекъл срок на годност;
II каса: общо 16 бутилки, от които 9 с изтекъл срок на годност.

а) Ако се вземе по 1 бутилка от всяка каса, да се определи вероятността на събитията:
A = {сред взетите бутилки да няма с изтекъл срок на годност}; и
B = {сред взетите бутилки да има точно 1 с изтекъл срок на годност}.

А = 1 - {и двете бутилки стават за пиене} = 1 - (9/16)*(7/16) = 0.75390625
B = {първата не става за пиене, a втората става за пиене} или { първата става за пиене, а втората не става за пиене} = (7/16)*(7/16) + (9/16)*(9/16)= 0.5078125

[Гост]

а)
А = 1 - {и двете бутилки стават за пиене} = 1 - (8/9)*(9/12) = 1/3
B = {първата не става за пиене} или { втората не става за пиене} = 1/9 + 3/12 = 13/36
б)
(В каса I има само една лоша бира. Тази подточка щеше да е по-интересна, ако беше за II каса)
C = {каква е вероятността да сложим лошата бира в едно от 5-те места от 9} = 5/9
D = {каква е вероятността да вземем 2 когато има само една} = 0
в)
Нека вероятността новата бутилка да е с изтекъл срок означим с [tex]\mu[/tex]. Тогава:
p = {вероятността да изберем една от оригиналните 9} * { вероятността да е добра} + {вероятността да изберем новата бутилка} * { вероятността да е добра} = (9/10)(8/9) + (1/10)(1-$\mu$) = 9/10 - $\mu$/10

Бихте ли могли да се обосновите на някои от отговорите? Например ако променим условието така, че в 2-те каси да има по 16 бутилки (каса 1: от 16 има 7 негодни. каса2: от 16 има 9 негодони)
на а)
А = защо е 1 - { и двете става за пиене }?
Б = в този случай на промененото условие с това решение, това значи ли че 100% ще избере поне една негодна?

ако трябва да вземем 6 бутилки от каса 2, каква е вероятността да има точно 2 негодни?

Аха! Сгрешил съм B. Да видим новата задача и да я решим правилно точ път:

I каса: общо 16 бутилки, от които 7 с изтекъл срок на годност;
II каса: общо 16 бутилки, от които 9 с изтекъл срок на годност.

а) Ако се вземе по 1 бутилка от всяка каса, да се определи вероятността на събитията:
A = {сред взетите бутилки да няма с изтекъл срок на годност}; и
B = {сред взетите бутилки да има точно 1 с изтекъл срок на годност}.

А = 1 - {и двете бутилки стават за пиене} = 1 - (9/16)*(7/16) = 0.75390625
B = {първата не става за пиене, a втората става за пиене} или { първата става за пиене, а втората не става за пиене} = (7/16)*(7/16) + (9/16)*(9/16)= 0.5078125

Благодаря! А има ли възможност да ми помогнете и с тези две условия, които също не разбрах

Ако вземем 6 бутилки от 2-ра каса, да има точно 2 с изтекъл срок на годност
Ако вземе 6 бутилки от 1-ра каса, да има поне една с изтекъл срок на годност

[peyo]

I каса: общо 16 бутилки, от които 7 с изтекъл срок на годност;
II каса: общо 16 бутилки, от които 9 с изтекъл срок на годност.

Благодаря! А има ли възможност да ми помогнете и с тези две условия, които също не разбрах

Ако вземем 6 бутилки от 2-ра каса, да има точно 2 с изтекъл срок на годност

2-ра каса имаме 16 бутилки (0 - изтекъл срок, 1- добри):
1234567890123456
0000000001111111

Да предположим, че 2-те с изтекъл срок са точно последните 2 изтеглени. Тогава вероятността за това е:

$p_{5,6}=((7/16)*(6/15)*(5/14)*(4/13))*((9/12)*(8/11)) = \frac{9.8.7.6.5.4}{16.15.14.13.12.11} = 0.010489510489510492$

И сега 2 от 6 където реда не е важен може да изтеглим по 6*5/2 = 15 начина, значи:

$p = 15*0.010489510489510492 = 0.15734265734265737$

Ако вземем 6 бутилки от 1-ва каса, да има поне една с изтекъл срок на годност

1-ва каса каса имаме 16 бутилки (0 - изтекъл срок, 1- добри):
1234567890123456
0000000111111111

{поне една с изтекъл срок на годност} = 1 - {0 с изтекъл срок на годност} = 1 - (9/16)*(8/15)*(7/14)*(6/13)*(5/12) = 0.9711538461538461

[peyo]

Задача 4: Социологическо проучване е установило, че вероятността, за развод през първите 10 години от брака е 0,4.
а) Намерете средната стойност и стандартното отклонение на броя на разводите в първите 10 години на 1000 семейства.
б) Каква е вероятността при случайно избрани 6 новобрачни двойки нито една да не се разведе през първите 10 години?

Да решим б)

вероятността 1 двойка да не се разведе = 1-0.4 = 0.6

Това да се случи 6 пъти = $0.6^6 = 0.04665599999999999 $