задача за 8ми клас

[Гост]

Намерете броя на петцифрените числа с различни цифри, които се делят както на 5, така и на 3, записани с цифрите 0, 1, 2, 6, 7, 8, 9.

[ammornil]

Ето една бакалска сметка за решение...

[tex]\Large{0, 1, 2, 6, 7, 8, 9}[/tex]

За да се делят на 5 всички комбинации трябва да завършват на нула, което означава че търсим всички групи от четири от останалите цифри, чиито сбор се дели на [tex]3[/tex].
После ще умножим броя на тези групи по пермутацията [tex]P_{4}[/tex], за да определим общия брой възможни числа.

[tex]\Large{1, 2, 6, 7, 8, 9}[/tex]
Числата, които две по две дават делима на 3 сума, от изброените, са: [tex]1+2, 1+8, 2+7, 6+9, 7+8[/tex]. Групираме двойките, които нямат повтарящо се събираемо, и получаваме: [tex]\begin{cases} 1,2,6,9 \\1,2,7,8 \\ 1,8,2,7 \\ 1,8,6,9 \\ 2,7,6,9 \\ 6,9,7,8 \end{cases}[/tex]

Няма четири които сами по себе си да се делят на 3, но има две които се делят: [tex]6[/tex] и [tex]9[/tex]. Всяко от тях меже да се комбинира с три от останалите, ако те имат сбор делим на 3. Оказва се, че ако махнем 6 и 9, никои три от останалите не могат да направят сбор, делим на 3. Остават комбинации, в които участват едновременно [tex]6[/tex] и [tex]9[/tex], и другите две цифри имат сбор делим на 3, което е частен случай на предходния ред и дава комбинации, които вече имаме от по-рано.

Така, в крайна сметка, получаваме че имаме [tex]6[/tex] групи от четири от изначално дадените цифри, които да комбинираме и да добявяме 0 в края за да изпълняват получените числа условиет. Тогава възможните комбинации са: [tex]6.P_{4}=6.4!=6.4.3.2.1=144[/tex]