Условни вероятности

[aleksiq]

Здравейте! Скоро имам важен изпит и ме затрудняват някои задачи. Дали ще може някой да ми обясни начинът на решаване на тези три задачи, тъй като учителят ми не обяснява много добре.

Задача 1:Хвърлят се три зарчета. Каква е вероятността едно и също число да се появи точно на две от тях.

Задача 2:Играча А получава информация „да“ или „не“ и я съобщава на играча Б. После Б я съобщава на В, а В на Г, който обявява получе- ната информация. Всеки от играчите казва истината в един от три случая. Каква е вероятността А да е казал истината, ако Г е съобщил верния резултат.

Задача 3:Вероятността даден стрелец да улучи една мишена е 23. Ако улучи мишената при първия изстрел той получава правото на втори изстрел по втора мишена. Вероятността за улучване на две- те мишени при двата изстрела е 12 . Да се пресметне вероятността за улучване на втората мишена, ако стрелецът е получил право на втори изстрел.

[peyo]

Задача 1:Хвърлят се три зарчета. Каква е вероятността едно и също число да се появи точно на две от тях.

Резултата от 3 зарчета можем да представим като куб с размери 6х6х6 или пък 6 квадрата всеки с размер 6х6.
6*6*6 = 216

Да разгледаме всеки от 6-те квадрата. Квадратчетата по главния диагонал са тези които ни интересуват, като 1,1 или 2,2 и т.н. Но едно от тях не ни върши работа, защото ще е например 1,1,1, а ние искаме само 2 еднакви. Затова във всеки от 6-те квадрата само 5 позиции от главния диагонал са печеливши. Така имаме 6*5 = 30 печеливши игри. Вероятността е 30/216 = 0.1388888888888889

[peyo]

Задача 1:Хвърлят се три зарчета. Каква е вероятността едно и също число да се появи точно на две от тях.

Резултата от 3 зарчета можем да представим като куб с размери 6х6х6 или пък 6 квадрата всеки с размер 6х6.
6*6*6 = 216

Да разгледаме всеки от 6-те квадрата. Квадратчетата по главния диагонал са тези които ни интересуват, като 1,1 или 2,2 и т.н. Но едно от тях не ни върши работа, защото ще е например 1,1,1, а ние искаме само 2 еднакви. Затова във всеки от 6-те квадрата само 5 позиции от главния диагонал са печеливши. Така имаме 6*5 = 30 печеливши игри. Вероятността е 30/216 = 0.1388888888888889

Да решим задачата по друг начин като умножаваме вероятности:

Хвърляме 1-вото зарче. Вероятността дотук е 1.

Хвърляме 2-рото зарче. Да са еднакви с първото вероятността е 1/6, значи 1*(1/6). Да са различно е 5/6, значи е 1*(5/6) и така имаме 2 пътеки по които можек да тръгнем.
Пътека 1:
1*(1/6) и хвърляме 3-тото зарче. Вероятността за 3-тото зарче да е еднакво с първите две е (1/6), става 1*(1/6)*(1/6) = 0.027777777777777776 и това е НЕ-печеливша игра

1*(1/6) и хвърляме 3-тото зарче. Вероятността за 3-то зарче да е различно от първите две е (5/6), става 1*(1/6)*(5/6) = 0.1388888888888889 и това е печеливша игра

Пътека 2:
1*(5/6) и хвърляме 3-тото зарче. Вероятността за 3-тото зарче да е еднакво с първото или второто е (2/6), става 1*(5/6)*(2/6) = 0.2777777777777778 и това е печеливша игра

1*(5/6) и хвърляме 3-тото зарче. Вероятността за 3-то зарче да е различно от първите две е (4/6), става 1*(5/6)*(4/6) = 0.5555555555555556 и това е НЕ-печеливша игра

Да направим проверка дали всичко се сумира до 1:
0.027777777777777776 +0.1388888888888889 +0.2777777777777778 +0.5555555555555556 = 1.0

И сега 0.1388888888888889 +0.2777777777777778 = 0.4166666666666667

Което не е отговора който получихме от предишния метод (0.1388888888888889) , значи поне един от тези методи е грешен.

Как да разберем кой е грешния метод? Ще вземем 3 зарчета, ще изиграем няколко милиона игри и ще видим:

Код: Избери целия код

from random import randint

n, N = 0, 1000000

for _ in range(N):
   unique_values = set([randint(1,6),randint(1,6),randint(1,6)])
   if len(unique_values)==2:
      n+=1
print(n/N)


0.416248

Ок, вероятностно-умножителния метод се оказа верния.

[peyo]

Задача 3:Вероятността даден стрелец да улучи една мишена е 23. Ако улучи мишената при първия изстрел той получава правото на втори изстрел по втора мишена. Вероятността за улучване на две- те мишени при двата изстрела е 12 . Да се пресметне вероятността за улучване на втората мишена, ако стрелецът е получил право на втори изстрел.

Тази задача е объркваща, сигурно нарочно, но всъщност е доста лесна (освен ако не са успели да объркат и мен):
$0.23 p_2=0.12$
$p_2=0.12/0.23$

$p_2=0.5217391304347826$

[aleksiq]

Задача 3:Вероятността даден стрелец да улучи една мишена е 23. Ако улучи мишената при първия изстрел той получава правото на втори изстрел по втора мишена. Вероятността за улучване на две- те мишени при двата изстрела е 12 . Да се пресметне вероятността за улучване на втората мишена, ако стрелецът е получил право на втори изстрел.

Тази задача е объркваща, сигурно нарочно, но всъщност е доста лесна (освен ако не са успели да объркат и мен):
$0.23 p_2=0.12$
$p_2=0.12/0.23$
$p_2=0.5217391304347826$

Много благодаря!!!

[peyo]

Задача 2:Играча А получава информация „да“ или „не“ и я съобщава на играча Б. После Б я съобщава на В, а В на Г, който обявява получе- ната информация. Всеки от играчите казва истината в един от три случая. Каква е вероятността А да е казал истината, ако Г е съобщил верния резултат.

Нека единия бит информация на входа бележим с b.

Търсим вероятностите на всички възможни пътеки където на изхода ще получим b и сумата им ще бележим със $S_b$. От така намерените вече пътеки ще отделим тези при които А е казал истината и ще ги сумираме и това ще бележим със $S_A$. Тогава [tex]\frac{S_A}{S_b}[/tex] ще е отговора на задачата.

Ок, свършихме по-трудната част от задачата (което е измислянето на решението), остава само да я решим.

Имаме 16 възможни пътечки. Сега трябва да обходим всички 16, да им сметнем булевите функции и вероятностите, което е лесно но скучно и е много вероято да направим грешка. Вместо това ще накараме компютъра да свърши тази работа:

Код: Избери целия код

from sympy import *
from itertools import product
var("b")

f1 = b, 1/3
f2 = ~b, 2/3
S_b, S_A = 0,0
for fx in product ([f1,f2], repeat=4):
   f_acc, p_acc = b, 1
   for f,p in fx:
      f_acc=f_acc.subs(b,f)
      p_acc *= p
   if f_acc == b:
      S_b += p_acc
      if fx[0][0] == b:
         S_A += p_acc
print(S_b,S_A,S_A/S_b)


0.5061728395061729 0.16049382716049382 0.31707317073170727