Профилирана подготовка вероятности и статистика

[Гост]

Дневният брой на посетители на ресторант е приблизително нормално разпределена случайна величина с математическо очакване 850 и стандартно отклонение 100.
Колко най-малко посетители ще има ресторантът в този определен ден с вероятност 95% ?

[Гост]

Също така какво е математическото очакване за менюто и какво е стандартното разочарование? Колко най-малко посетители няма да повторят посещението си?

[peyo]

Дневният брой на посетители на ресторант е приблизително нормално разпределена случайна величина с математическо очакване 850 и стандартно отклонение 100.
Колко най-малко посетители ще има ресторантът в този определен ден с вероятност 95% ?

Нормалното разпределение е странно разпределение за обекти които са реални хора, защото вероятността да приема отрицателни стойности не е 0. Ако този ресторант наистина имаше нормално разпределение, то вероятността да има минус един човек някой ден е по-голяма от 0.
In [213]: from scipy.stats import norm
In [217]: N = norm(loc = 850, scale = 100)
In [220]: N.cdf(-1)
Out[220]: 8.696667726896024e-18

И сега започва голямото чудене какво е ресторант с -1 човек?! Може би вместо да поръчва храна и да я плаща им носи храна и им я продава? Да, това има смисъл. Но има и други възможности.


Но да се върнем на задачата. Какво означава най-малко посетители с вероятност? За нас това ще бъде следното. Ако изкажем твърдението, че ресторанта ще има най-малко $x$ посетители, то нашето твърдение ще бъде вярно в 95% от случаите. А в останалите 5% ще има по-малко от $x$ посетители.

Да видим. Например каква е вероятността да познаем, ако кажем, че ще има поне 1000 човека?
In [234]: N.cdf(1e100) - N.cdf(1000)
Out[234]: 0.06680720126885809

Хм, нашето твърдение ще е вярно само в 6.7% от случаите, а ние искаме 95%. Значи надолу. Да видим за 500 човека:
In [235]: N.cdf(1e100) - N.cdf(500)
Out[235]: 0.9997673709209645

Охо 99.9% ! Нагоре:
In [239]: N.cdf(1e100) - N.cdf(680)
Out[239]: 0.955434537241457

Ок, нещо около 680 човека ще е. Но как да намерим точната стойност без да налучкваме повече?

Бързото решение е с числен метод или бинарно търсене. Аналитично решение ще е решението на това:

$0.95= \int _{x }^{\infty} {\frac {1}{100 {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {t-850 }{100 }}\right)^{2}} dt $

За горното уравнение не мисля, че съществува решение, тогава остава численото решение или моя първо първи отговор: около 680, бас хващам, че сега изглежда много по-добре ...

[Genie_Almo]

Ето и малко по-точен отговор.

$CDF (x) = P(X \le x) = \frac{1}{2} \left [1+erf \left( \frac{x-\mu}{\sigma \sqrt{2} } \right) \right] $ , където

[tex]\mu = 850[/tex]
[tex]\sigma = 100[/tex]

Търсим такова $x$, че:

$ 0.95 = P(X>x) = 1- P(X \le x) $

Следователно, търсим решение на уравнението:

$ erf \left( \frac{x-850}{100 \sqrt{2} } \right) = -0.9 $

Това връща резултат $x \approx 685.51$

Значи може да се каже, че с 95% вероятност ще има поне 686 посетители.

Референция: WolframAlpha.com