Асансьор с пътници

[Гост]

Асансьор започва да се движи със 7 пътници и спира на 10 етажа. Намерете
вероятността трима пътници да са слезли на един етаж, двама на друг етаж и два на
трети етаж.

[peyo]

Асансьор започва да се движи със 7 пътници и спира на 10 етажа. Намерете
вероятността трима пътници да са слезли на един етаж, двама на друг етаж и два на
трети етаж.

Тази задача ще е от трудните. И бас хващам, че в един момент всеки ще се обърка за това кога реда има значение и кога няма.

Предполагаме, че всеки слиза някъде равновероятно.

Да кажем, че точно на 1-вия етаж ще са 3-ма, на 2-рия двама и на 3-тия двама. И искаме пътниците да слизат и запълват тези точно етажи в този ред.
Тогава вероятността първия пътник да слезе на първия етаж е 1/10 и втория да слезе там е 1/10 стават (1/10)*(1/10) с третия $(1/10)^3$. Всичките 7 става $(1/10)^7$

Дотук добре, но това не е крайния отговор, защото има и други възможности които отговярат на условието. Да се опитаме да преброим всичките!

7 пътника могат да се подредят по 7! = 5040 начина, но начана на подреждане в групата не е от значение а трима души могат да се наредят по 3! = 6 начина, значи 7! /(3*2*1), но същото и за двете групи от 2-ма, накрая става (7*6*5*4*3*2*1)/(3*2*2*2) или дотук:

$(1/10)^7 * (7*6*5*4*3*2*1)/(3*2*2*2) $

Но това не е всичко, 3-те групи от 3,2,2 можем да разположим на 10 етажа по (10*9*8) начина, но на двете групи от двама подреждането не е важно, затова става ((10*9*8)/2).

И така крайния отговор е:

$(1/10)^7 * (7*6*5*4*3*2*1)/(3*2*2*2) * ((10*9*8)/2) = 0.00756$

Проверка със симулация ни кара да мислим, че това е възможно най-верния отговор.

Код: Избери целия код

from random import randint
N = 1000000
n = 0
for i in range(N):
   etazhi = [0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0]
   for p in range(7):
      etazh = randint(0,9)
      etazhi[etazh]+=1
   etazhi.sort()
   if etazhi == [0,0,0,0,0, 0,0,2,2,3]:
      n+=1
print(n/N,n,N)


0.007554 7554 1000000

[Гост]

Асансьор започва да се движи със 7 пътници и спира на 10 етажа. Намерете
вероятността трима пътници да са слезли на един етаж, двама на друг етаж и два на
трети етаж.

Тук редът няма значение. Да решим задачата за общия случай - Колко пътници могат да слязат на всеки етаж.

На първия етаж може да слязат 7 човека... но може и на 10-тия да слязат 7. Имаме 10 кутии със 7 топки - общо [tex]7^{10 }[/tex] начина за слагане на топките в кутиите(в случая човека в асансьор).

Вероятността трима пътници да слязат на един етаж е следната: [tex]{10 \choose 1} {7 \choose 3}[/tex] - измежду 10 етажа избираме 1 (т.е. по 10 начина) по измежду 7 човека избираме 3-ма.
Вероятността двама пътници да слязат на друг етаж е следната: [tex]{9 \choose 1} {4 \choose 2}[/tex] - измежду останалите 9 етажа избираме 1 (т.е. по 9 начина) по измежду останалите 4 човека избираме 2-ма.
Вероятността двама пътници да слязат на друг етаж е следната: [tex]{8 \choose 1} {2 \choose 2}[/tex] - измежду останалите 8 етажа избираме 1 (т.е. по 8 начина) по измежду останалите 2 човека избираме 2-ма(т.е. 1 начин).

Накрая получаваме:

p = [tex]\frac{ 10 {7 \choose 3} + 9 {4 \choose 2} + 8 }{ 7^{10 } }[/tex]

[peyo]

Асансьор започва да се движи със 7 пътници и спира на 10 етажа. Намерете
вероятността трима пътници да са слезли на един етаж, двама на друг етаж и два на
трети етаж.

Тук редът няма значение. Да решим задачата за общия случай - Колко пътници могат да слязат на всеки етаж.

На първия етаж може да слязат 7 човека... но може и на 10-тия да слязат 7. Имаме 10 кутии със 7 топки - общо [tex]7^{10 }[/tex] начина за слагане на топките в кутиите(в случая човека в асансьор).

Вероятността трима пътници да слязат на един етаж е следната: [tex]{10 \choose 1} {7 \choose 3}[/tex] - измежду 10 етажа избираме 1 (т.е. по 10 начина) по измежду 7 човека избираме 3-ма.
Вероятността двама пътници да слязат на друг етаж е следната: [tex]{9 \choose 1} {4 \choose 2}[/tex] - измежду останалите 9 етажа избираме 1 (т.е. по 9 начина) по измежду останалите 4 човека избираме 2-ма.
Вероятността двама пътници да слязат на друг етаж е следната: [tex]{8 \choose 1} {2 \choose 2}[/tex] - измежду останалите 8 етажа избираме 1 (т.е. по 8 начина) по измежду останалите 2 човека избираме 2-ма(т.е. 1 начин).

Накрая получаваме:

p = [tex]\frac{ 10 {7 \choose 3} + 9 {4 \choose 2} + 8 }{ 7^{10 } }[/tex]

Получил си друг отговор, значи най-вероятно решението ти е грешно:

https://www.wolframalpha.com/input?i=%2810*binom%2810%2C1%29%2B9*binom%289%2C4%29%2B8%29%2F7%5E10