Сума на петцифрени числа

[Гост]

Намерете сумата на всички петцифрени числа, записани с цифрите 0,1,2,3,4.

[pal702004]

$\dfrac{4\cdot 5^4\cdot 54444}{2}$

[peyo]

$\dfrac{4\cdot 5^4\cdot 54444}{2}$

Изглежда това да е отговора.

In [157]: 4*5**4*54444/2
Out[157]: 68055000.0

In [164]: sum( int("".join(a)) for a in product("01234",repeat=5) if a[0]!="0" )
Out[164]: 68055000

Но как можем да го отгатнем без преброяваме всички и без да търсим точната формула?

Има 4*5*5*5*5=2500 числа всичко. Всяко от тях е межди 10000 и 44444 или средно :

In [167]: (10000 + 44444)/2
Out[167]: 27222.0

Тогава:

In [168]: 2500 * 27222
Out[168]: 68055000

Получихме същия отговор.

[Гост]

Отговорът в учебника е 2 599 980 и нямам представа как е получен

[peyo]

Отговорът в учебника е 2 599 980 и нямам представа как е получен

Аз знам. Това е отговора на задачата с допълнителното изискване всички от цифрите 0,1,2,3,4 да бъдат използвани за всяко число.

Тогава всяко число е пермутация на горните цифри:

In [171]: sum([ int("".join(a)) for a in permutations("01234") if a[0] !="0"])
Out[171]: 2599980

Да видим дали можем да налучкаме отговора по подобен начин.

Има всичко 5!-4! = 96 числа

In [175]: 5*4*3*2*1-4*3*2*1
Out[175]: 96

Най-малкото е 10234, а най-голямото 43210 или средно
In [176]: (10234+43210)/2
Out[176]: 26722.0

И тогава:
In [177]: 26722*96
Out[177]: 2565312

Да видим дали сме близко:

In [178]: 2599980-2565312
Out[178]: 34668

In [179]: (34668/2599980)*100
Out[179]: 1.333394872268248

А! 1.3% грешка , което не е толкова лошо.

Сега остава да намерим начин да изчислим верния отговор без да сумираме всички числа.

[pal702004]

Да видим дали можем да налучкаме отговора по подобен начин.
Има всичко 5!-4! = 96 числа

Налучква се на тото 2. В тази формулировка отговорът е

$\dfrac{5!}{2}\cdot 44444-\dfrac{4!}{2}\cdot 5555$

[peyo]

Да видим дали можем да налучкаме отговора по подобен начин.
Има всичко 5!-4! = 96 числа

Налучква се на тото 2. В тази формулировка отговорът е

$\dfrac{5!}{2}\cdot 44444-\dfrac{4!}{2}\cdot 5555$

Ха! Я да видим кой може да налучка на тото 2 числата с грешка 1.3%!

Това според моята току що измислена формулировка за грешка при отгатването на числата на тотото, означава точно отгатване на всички 6 числа при 11 тиража от 12, а при 12-тия сгрешаване на само едно число.

[ammornil]

Намерете сумата на всички петцифрени числа, записани с цифрите 0,1,2,3,4.

Аз получавам различен отговор. Очевидно пропускам нещо но не мога да го видя . Някой да вижда какво пропускам?

Сборът от последните цифри на всички такива числа, ако всички други позиции са нула, е:
####0 -> [tex]3\cdot 4\cdot 4\cdot 4 =192 \hspace{3em} \sum N_{1,0} =192\cdot 0=0[/tex]- можем да игнорираме
####1 -> [tex]3\cdot 4\cdot 4\cdot 4 =192 \hspace{3em} \sum N_{1,1} =192\cdot 1=192[/tex]
####2 -> [tex]3\cdot 4\cdot 4\cdot 4 =192 \hspace{3em} \sum N_{1,2} =192\cdot 2=384[/tex]
####3 -> [tex]3\cdot 4\cdot 4\cdot 4 =192 \hspace{3em} \sum N_{1,3} =192\cdot 3=546[/tex]
####4 -> [tex]3\cdot 4\cdot 4\cdot 4 =192 \hspace{3em} \sum N_{1,4} =192\cdot 4=768[/tex]
[tex]\sum N_{1} = \sum_{i=1}^{4} N_{1,i} = (1+2+3+4)\cdot 192[/tex]
Сборът от предпоследните цифри на всички такива числа, ако всички други позиции са нула, е:
###0# -> [tex]3\cdot 4\cdot 4\cdot 4 =192 \hspace{3em} \sum N_{2,0} =192\cdot 0 \cdot 10=0[/tex] - можем да игнорираме
###1# -> [tex]3\cdot 4\cdot 4\cdot 4 =192 \hspace{3em} \sum N_{2,1} =192\cdot 1 \cdot 10[/tex]
###2# -> [tex]3\cdot 4\cdot 4\cdot 4 =192 \hspace{3em} \sum N_{2,2} =192\cdot 2 \cdot 10[/tex]
###3# -> [tex]3\cdot 4\cdot 4\cdot 4 =192 \hspace{3em} \sum N_{2,3} =192\cdot 3 \cdot 10[/tex]
###4# -> [tex]3\cdot 4\cdot 4\cdot 4 =192 \hspace{3em} \sum N_{2,4} =192\cdot 4 \cdot 10[/tex]
[tex]\sum N_{2} = \sum_{i=1}^{4} N_{1,i} = (1+2+3+4)\cdot 192\cdot 10[/tex]
[tex]\vdots[/tex]
Сборът от първите цифри на всички такива числа, ако всички други позиции са нула, е:
0#### -> [tex]4\cdot 4\cdot 4\cdot 4 =256\hspace{3em} \sum N_{5,0} =256\cdot 0 \cdot 10^{4}=0[/tex] - можем да игнорираме
1#### -> [tex]4\cdot 4\cdot 4\cdot 4 =256\hspace{3em} \sum N_{5,1} =256\cdot 1 \cdot 10^{4}[/tex]
2#### -> [tex]4\cdot 4\cdot 4\cdot 4 =256\hspace{3em} \sum N_{5,2} =256\cdot 2 \cdot 10^{4}[/tex]
3#### -> [tex]4\cdot 4\cdot 4\cdot 4 =256\hspace{3em} \sum N_{5,3} =256\cdot 3 \cdot 10^{4}[/tex]
4#### -> [tex]4\cdot 4\cdot 4\cdot 4 =256\hspace{3em} \sum N_{5,4} =256\cdot 4 \cdot 10^{4}[/tex]
[tex]\sum N_{5} = 256 \cdot 10^{5}[/tex]

$$ \sum_{\begin{array}{l} t=1 \\ n=1 \end{array}}^{\begin{array}{c} n=4 \\ t = 4 \end{array}} N_{n,t} = 192 \cdot t \cdot 10^{n-1} \rightarrow \sum N_{n}= (1+2+3+4)\cdot 192 \cdot 10^{n-1} = 192 \cdot 10^{n}$$
$$ n=5 \rightarrow \sum N_{5}=256\cdot 10^{5} $$

$$ \sum_{n=1}^{5} \left( \sum N_{n} \right)= 192 \cdot 10^{1} + 192 \cdot 10^{2} + 192 \cdot 10^{3} + 192 \cdot 10^{4} + 256 \cdot 10^{5} = 192 \cdot 11110 + 256 \cdot 10^{5} = 27\>733\>120 $$

[pal702004]

ammornil, замени навсякъде $3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4$ със $4\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ и $4^4$ с $5^4$ (за старшия разряд) и ще се получи. Все пак цифрите са пет, а не четири.

$500\cdot 11110+625 \cdot 10^5=68055000$

[ammornil]

ammornil, замени навсякъде $3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4$ със $4\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ и $4^4$ с $5^4$ (за старшия разряд) и ще се получи. Все пак цифрите са пет, а не четири.

$500\cdot 11110+625 \cdot 10^5=68055000$

Благодаря много, pal! Знаех, че е нещо очевидно, но не можех да го видя.