Имам тези задачи ПО Вероятности. АКО НЯКОЙ МОЖЕ ДА ПОМОГНЕ

[Гост]

1.В една фабрика за обувки подметките, токчетата и горната част на обувките се произвеждат в отделни цехове. При изработката на всяка обувка подметката, петата и горната част се комбинират, като се избират на случаен принцип. Един процент от подметките, 2 процента от токчетата и 3 процента от горната част на обувките са дефектни. Каква е вероятността произволно избран чифт обувки да има дефект?
2.Сред клиентите на магазина 60% са жени, 30% са мъже, а 10% са деца. Намерете вероятността че сред 4 произволно избрани клиенти ще има поне един мъж и поне едно дете.
3.Студент може да реши 20 от 25 задачи на първия кръг на изпита и 15 от 20 задачи на втория кръг. Намерете вероятността той да издържи изпита, ако във всеки кръг му се дават по 3 задачи и е достатъчно той да реши поне 2 от тях. Кръговете на изпита се провеждат независимо.
4.При производство делът на дефектните продукти е 4%. Вероятността всеки продукт да пристига при един от двамата инспектори е равна на ½ , като първият от инспекторите открива дефект с вероятност 0.92, а вторият инспектор открива дефект с вероятност 0.98. Каква е вероятността даден продукт, за който е установено, че е изправен, в действителност да е дефектен?

[peyo]

2.Сред клиентите на магазина 60% са жени, 30% са мъже, а 10% са деца. Намерете вероятността че сред 4 произволно избрани клиенти ще има поне един мъж и поне едно дете.

Това ще е сложно.

За да има поне един мъж и поне едно дете в извадката трябва да има: мд. Едно такова разпределение е:
жмдж

Вероятността за това е: 0.6*0.3*0.1*0.6 = 0.010799999999999999

И най-директното решение е да разпишем всички разпрределения които ни интересуват, да им изчислим вероятностите и да ги съберем. Това изглежда много работа като за ръка, затова ще използваме компютър.

Код: Избери целия код

from itertools import product
P = {"ж":0.6, "м":0.3, "д": 0.1}
p=0
for k4 in product("жмд", repeat=4):
   if "м" in k4 and "д" in k4:
      print("".join(k4), end = ",")
      pp = 1
      for k in k4:
         pp*= P[k]
      p+=pp
print("\n",p)

жжмд,жждм,жмжд,жммд,жмдж,жмдм,жмдд,жджм,ждмж,ждмм,ждмд,жддм,мжжд,мжмд,мждж,мждм,мждд,ммжд,мммд,ммдж,ммдм,ммдд,мджж,мджм,мджд,мдмж,мдмм,мдмд,мддж,мддм,мддд,джжм,джмж,джмм,джмд,дждм,дмжж,дмжм,дмжд,дммж,дммм,дммд,дмдж,дмдм,дмдд,дджм,ддмж,ддмм,ддмд,дддм,
0.2334

Да направим и сега проверка със симулация:

Код: Избери целия код

import numpy as np

K = list(a for a in "wwwwwwmmmc")
print(K)
n,N = 0,1000000
for i in range(N):
   k4 = np.random.choice(K,4,replace=True)
   if "m" in k4 and "c" in k4:
      n+=1
print(n/N)

0.233268

Клоуз инаф ай луд сей.

[peyo]

2.Сред клиентите на магазина 60% са жени, 30% са мъже, а 10% са деца. Намерете вероятността че сред 4 произволно избрани клиенти ще има поне един мъж и поне едно дете.

Това ще е сложно.

За да има поне един мъж и поне едно дете в извадката трябва да има: мд. Едно такова разпределение е:
жмдж

Вероятността за това е: 0.6*0.3*0.1*0.6 = 0.010799999999999999

И най-директното решение е да разпишем всички разпрределения които ни интересуват, да им изчислим вероятностите и да ги съберем. Това изглежда много работа като за ръка, затова ще използваме компютър.

Дали има по-лесно решение където броя на изчисленията е малък и можем да минем без компютър?

Интересуват ни всички разпределения които не са само от една буква и не са само жм или дж. Може би по-лесно можем да изчислим тези и да ги извадим от 1?

Всички жжжж са $0.6^4$
Всички мммм са $0.3^4$
Всички дддд са $0.1^4$
Всички жм са:
4*жммм= $4*0.6*0.3^3$,
6*жжмм= $6*0.6^2*0.3^2$ ,
4*жжжм = $4*0.6^3*0.3$

Всички дж са:
4*джжж= $4*0.1*0.6^3$,
6*дджж= $6*0.1^2*0.6^2$ ,
4*дддж = $4*0.1^3*0.6$


И сега събираме всичко и изваждаме от 1:
$1 - (0.6^4 + 0.3^4 + 0.1^4 + 4*0.6*0.3^3 + 6*0.6^2*0.3^2 + 4*0.6^3*0.3 + 4*0.1*0.6^3 + 6*0.1^2*0.6^2 + 4*0.1^3*0.6)$

In [12]: 1 - (0.6**4 + 0.3**4 + 0.1**4 + 4*0.6*0.3**3 + 6*0.6**2*0.3**2 + 4*0.6**3*0.3 + 4*0.1*0.6**3 + 6*0.1**2*0.6**2 + 4*0.1**3*0.6)
Out[12]: 0.23340000000000016

Получихме същия отговор и то без компютър! Е, почти. Последната сметка я направи компютър, но ако много държим бихме могли да използваме калкулатор или сметало. Понеже има много умножения предполагам логаритмична таблица също ще свърши работа.

[peyo]

1.В една фабрика за обувки подметките, токчетата и горната част на обувките се произвеждат в отделни цехове. При изработката на всяка обувка подметката, петата и горната част се комбинират, като се избират на случаен принцип. Един процент от подметките, 2 процента от токчетата и 3 процента от горната част на обувките са дефектни. Каква е вероятността произволно избран чифт обувки да има дефект?

Чифт значи избираме 2 подметки, 2 токчета и 2 горни части. И вероятността да има някъде дефект е равно на едно минус вероятността да няма дефект:

In [14]: 1-(1-0.1)**2 * (1-0.2)**2 * (1-0.3)**2
Out[14]: 0.745984

Или нещо такова. Почти съм сигурен, че отговора е верен.

[peyo]

3.Студент може да реши 20 от 25 задачи на първия кръг на изпита и 15 от 20 задачи на втория кръг. Намерете вероятността той да издържи изпита, ако във всеки кръг му се дават по 3 задачи и е достатъчно той да реши поне 2 от тях. Кръговете на изпита се провеждат независимо.

Това пак ще е сложно.

Трябва да решим и двата кръга. Да означим с "р" решена задача и с "н" нерешена.

Едно разпределение което ни върши работа е:
рнр, нрр
Да се опитаме да разпишем всички разпредленения които ни вършат работа:
1*(ррр,ррр)
6*(ррр,ррн)
9*(ррн,ррн)

И сега да разпишем вероятностите:

1*(ррр,ррр) = 1*((20/25)*(19/24)*(18/23) * (15/20)*(14/19)*(13/18))
6*(ррр,ррн) = 6*((20/25)*(19/24)*(18/23) * (15/20)*(14/19)*(5/18))
9*(ррн,ррн) = 6*((20/25)*(19/24)*(5/23) * (15/20)*(14/19)*(5/18))

p = 1*((20/25)*(19/24)*(18/23) * (15/20)*(14/19)*(13/18)) + 6*((20/25)*(19/24)*(18/23) * (15/20)*(14/19)*(5/18)) + 6*((20/25)*(19/24)*(5/23) * (15/20)*(14/19)*(5/18)) = 0.781159420289855

И освен ако не съм сбъркал нещо някъде това е търсения отговор. Една симулация за проверка е задължителна, ако искаме да знаем дали отговора е верен.

[peyo]

4.При производство делът на дефектните продукти е 4%. Вероятността всеки продукт да пристига при един от двамата инспектори е равна на ½ , като първият от инспекторите открива дефект с вероятност 0.92, а вторият инспектор открива дефект с вероятност 0.98. Каква е вероятността даден продукт, за който е установено, че е изправен, в действителност да е дефектен?

Това е малка смешна задачка!

In [16]: 0.5*(1-0.92) + 0.5*(1-0.98)
Out[16]: 0.04999999999999999

Да направим проверка:

Код: Избери целия код

from random import random as rand

n,N=0,1000000000
for i in range(N):
   if rand()<0.5:
      if rand()>0.92:
         n+=1
   else:
      if rand()>0.98:
         n+=1
print(n/N)

0.049998994

Найс!

(don't try that at home)