Вероятности със странни монети

[Гост]

Какво ще кажете за тази (не)логическа главоблъсканица?

[Гост]

Вероятности със странни монети-page-001.jpg (109.58 KiB) Прегледано 1735 пъти

[peyo]

Какво ще кажете за тази (не)логическа главоблъсканица?

Това е ужасна задача! Невъзможно е да сме сигурни в решението без симулация. Аз обаче направих симулация и знам какъв е отговора и сега ще дам вярно решение, все едно съм много умен!

Езито, което въпросния комарджия е хвърлил, е едно от 3 възможни. Двете от е/е монетата $+$ едното от е/т монетата. Само в един от тези 3 случая като обърнем монетата ще имаме т, значи [tex]p=\frac{1}{3}[/tex]

[grav]

Зависи какво точно се пита. Нека [tex]A[/tex] е събитието паднало се е "ези", и [tex]B[/tex] събитието от другата страна е "тура". Тогава какво се пита? Kаква е вероятността [tex]P(B)[/tex] или [tex]P(B|A)[/tex]? Първото е какава е вероятността да се случи събитие [tex]B[/tex], воторото е каква е вероятността да се случи [tex]B[/tex] при условие че се е случило [tex]A[/tex]. Така както го чета аз се търси второто и [tex]P(B|A) =\frac12[/tex].

[Гост]

Странни монети-page-001.jpg (252.34 KiB) Прегледано 1665 пъти

[grav]

Да, прав си.

[ammornil]

Според мен, няма защо да разглеждате монетата която няма страна ези. Избраната монета е една от две, а не една от три, защото се е паднало ези. Ако задачата беше формулирана: Каква е вероятността при хвърлянето на случайно избрана монета да се падне ези и обратната страна на избраната монета да е тура, тогава съжденията на Гост са верни. Но събитията за избор на монета и резултат от хвърлянето са вече определени (функциите на техните вероятности са стеснени чрез измерване). Аз бих дал решението на grav.

[Гост]

В първото решение, което постнах въобще не вземам предвид монетата тура|тура.

Във второто решение го включих, защото ползвам теоремата на Бейс.

Нека оцветим едната страна на монетата ези|ези в синьо, а другата – в червено, след което връщаме монетата при другите две.

Слагаме си „специални“ очила, които не ни позволяват да различаваме червено от синьо и от естествения цвят на нормалната монета.

Избираме една монета и се пада ези.

Ние обаче не знаем, кое точно ези се е паднало – дали червеното ези от монетата ези|ези, дали синьото ези от монетата ези|ези или езито от нормалната монета.

Вероятността да се падне, която и да е страна, на която и да е монета е една и съща.

Обръщаме монетата и от другата ѝ страна има или синьо ези, или червено ези или тура.

В един от три равновероятни изхода имаме тура.

[Гост]

Цялата „хитрина“, върху която е построена тази задача е, че

P (пада се синьо ези от монетата ези|ези) = P (пада се червено ези от монетата ези|ези) =

= P (пада се ези от нормалната монета).

В началото, преди да изберем монета, всяка от тези вероятности е равна на 1/6.

След като сме си сложили „специалните“ очила, избрали сме монета и вече се е паднало ези, се намираме в следната ситуация.

Настъпило е събитието „паднало се е ези“, но все още не е настъпило събитието „махнали сме специалните очила и сме разбрали, кое точно ези се е паднало“ – синьото, червеното или от нормалната монета.

[grav]

Според мен, няма защо да разглеждате монетата която няма страна ези. Избраната монета е една от две, а не една от три, защото се е паднало ези. Ако задачата беше формулирана: Каква е вероятността при хвърлянето на случайно избрана монета да се падне ези и обратната страна на избраната монета да е тура, тогава съжденията на Гост са верни. Но събитията за избор на монета и резултат от хвърлянето са вече определени (функциите на техните вероятности са стеснени чрез измерване). Аз бих дал решението на grav.

Именно, зависи какво точно е уславието. Но на втори прочит съм сколнен да го приема така както госта го разбира. Виждаш ези, каква е вероятността другата страна да е тура. Тъй като има три възможности да видиш ези и само прие една от тях другата страна е тура, вероятността е 1/3. А не, имаш монета с ези, каква е вероятността тази монета да е нормална. Тъй като са две и само едната е нормална, то вероятността е 1/2.

[ammornil]

Разбирам, но според мен, независимо че едната монета има две ези страни, те не са различни една от друга за нашия експеримент, от гледна точка на опита те са един и същи изход, а не два различни. Ако виждаме ези, шансът от другата страна да има тура е едно от две, зависимост от това коя от двете монети имащи ези сме изтеглили. Вероятно греша, щом всички останали са съгласни с едно от три, но това е моят поглед на условието.

[Гост]

А можем ли да използваме един подход, който за повече тежест и достоверност нека наречем "мисловна трансфорация на постановката"?

Нека да номерираме страните на всички монети от 1 до 6 по следния начин:

ези | ези -> 1 | 2

ези | тура -> 3 | 4

тура | тура -> 5 | 6

Вземаме една от монетите и я хвърляме. Без никакви предварително зададени условности, можем да кажем, че шестте числа са равновероятни, нали така? T.e. имаме по 1/6 вероятност да се падне всяко едно конкретно число. Сега, при тази постановка, въпросът се видоизменя така:

Знаем, че при случаен избор на монета и нейно последващо завъртане се пада едно от числата {1,2,3} . Пита се каква е вероятността да се е паднало числото 3. Не е ли вече интуитивно ясно, че тази вероятност е 1/3, без дори да е необходимо да се използва формалистиката от теорията на вероятностите?

[grav]

А можем ли да използваме един подход, който за повече тежест и достоверност нека наречем "мисловна трансфорация на постановката"?

Нека да номерираме страните на всички монети от 1 до 6 по следния начин:

ези | ези -> 1 | 2

ези | тура -> 3 | 4

тура | тура -> 5 | 6

Вземаме една от монетите и я хвърляме. Без никакви предварително зададени условности, можем да кажем, че шестте числа са равновероятни, нали така? T.e. имаме по 1/6 вероятност да се падне всяко едно конкретно число. Сега, при тази постановка, въпросът се видоизменя така:

Знаем, че при случаен избор на монета и нейно последващо завъртане се пада едно от числата {1,2,3} . Пита се каква е вероятността да се е паднало числото 3. Не е ли вече интуитивно ясно, че тази вероятност е 1/3, без дори да е необходимо да се използва формалистиката от теорията на вероятностите?

Да, но това ли е задачата? Аз първоначално реших, че е следното. Избираш един от трите реда

ези | ези

ези | тура

тура | тура

ако не е последния, каква е вероятността да е втория? Очевидно 1/2.

[ammornil]

Моделът е
ези | ези -> 1 | 1

ези | тура -> 1 | 2

тура | тура -> 2 | 2

Вероятността произволно избрана монета да даде ези е [tex]\frac{1}{3}\cdot{}\frac{2}{2}+\frac{1}{3}\cdot{}\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot{}\frac{0}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}[/tex]
Същото е за произволно избрана монета да даде тура.
Ако вече се е паднало ези, вероятността другата страна да е тура е [tex]\frac{1}{2}\cdot{}\frac{0}{1}+\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{1}=\frac{1}{2}[/tex]

[Гост]

Да, но това ли е задачата? Аз първоначално реших, че е следното. Избираш един от трите реда

ези | ези

ези | тура

тура | тура

ако не е последния, каква е вероятността да е втория? Очевидно 1/2.

Мисля, че това не съвпада с постановката на задачата. Твоят сценарий по-скоро би бил аналогичен на наличието на арбитър, който да каже "Със сигурност твоята монета има поне едно ези". Тогава вероятността настина става 1/2.

Задачата е точно определена от описанието на постановката. Избира се монета по случен начин и без да имаме каквато и да е предварителна информация за нея, тя се завърта. Пада се ези. Тук вече се появява нова информация, но тя е в резултат на случайно събитие, което трябва да се отчете. И съгласно въведеното условие се пита: "Каква е вроятността това да е монетата ези/тура?"

[Гост]

Вероятността произволно избрана монета да даде ези е [tex]\frac{1}{3}\cdot{}\frac{2}{2}+\frac{1}{3}\cdot{}\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot{}\frac{0}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}[/tex]

Това е вярно, но се губи информация. Детайлния запис е следният:

[tex]\left( \frac{1}{3}\cdot{}\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot{}\frac{1}{2} \right)+ \left( \frac{1}{3}\cdot{}\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}\cdot{}\frac{0}{2} \right) + \left( \frac{1}{3}\cdot{}\frac{0}{2} + \frac{1}{3}\cdot{}\frac{0}{2} \right) =\frac{1}{2}[/tex]

Ако вече се е паднало ези, вероятността другата страна да е тура е [tex]\frac{1}{2}\cdot{}\frac{0}{1}+\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{1}=\frac{1}{2}[/tex]

Това вече е грешно. Вярното е:

[tex]\frac{1}{3}\cdot{}\frac{0}{1}+ \frac{1}{3}\cdot{}\frac{0}{1} + \frac{1}{3}\cdot{}\frac{1}{1}=\frac{1}{3}[/tex]

[ammornil]

Вашият ред на размисъл не взема в предвид че вече се е паднало ези, което е по-общия случай [вероятност да изтеглим монетата] по [вероятност тя да даде ези] по [вероятност другата страна да е тура]
или [tex]\frac{1}{3}\cdot{}\frac{2}{2}\cdot{}\frac{0}{1}+\frac{1}{3}\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{1}+\frac{1}{3}\cdot{}\frac{0}{2}\cdot{}\frac{1}{1}=\frac{1}{6}[/tex]
Понеже знаем, че се е паднало ези, трябва да изключим третата монета от разглеждането.

[Гост]

Друг подход-page-001.jpg (83.99 KiB) Прегледано 1567 пъти

[Гост]

Може ли да предложа на Вашето внимание следната мисловна трансформация, която според мен има аналогия със задачата.

Имаме две монети: ези|ези и ези|тура . Арбитър затваря всяка монета в отделна кутия и хубаво разклаща кутиите така, че монетите да заемат случайни позиции.

Играете следната игра срещу друг играч. Избирате една от кутиите. После, Вашият опонент отваря другата кутия. Ако вътре се вижда тура, Вие губите.

Ако се види ези, Вие имате право на смяна на кутиите. Печелите, ако в края на итерацията при Вас е монетата ези|тура.

Вие бихте ли направили смяна?

Аз не бих.