Комбинаторика 9 клас

[Гост]

Здравейте!
Имаме домашна за Коледната ваканция и 2 от задачите ме затрудняват, тъй като не сме решавали подобни.
1. В клас от 30 ученици има 10 отличници. Класът е разделен по случаен начин на две равни части. Каква е вероятността във всяка част от класа да има по 5 отличници?
2. Коледна питка е разрязана на 10 парчета, в точно 3 от които има монета. Трима души едновременно си избират по едно парче. Каква е вероятността и тримата да имат монета в своето парче?
Моля за помощ!

[Гост]

Здравейте!
Имаме домашна за Коледната ваканция и 2 от задачите ме затрудняват, тъй като не сме решавали подобни.
1. В клас от 30 ученици има 10 отличници. Класът е разделен по случаен начин на две равни части. Каква е вероятността във всяка част от класа да има по 5 отличници?
2. Коледна питка е разрязана на 10 парчета, в точно 3 от които има монета. Трима души едновременно си избират по едно парче. Каква е вероятността и тримата да имат монета в своето парче?
Моля за помощ!

В първа задача те питат с други думи каква е вероятността да изберем $15$ човека, от които $5$ са отличници. Информацията за първата половина определя информацията за втората половина автоматично.

[ammornil]

Според мен нещо такова, но не знам дали е учено в девети клас.

Скрит текст: покажи

$\boxed{\quad(1)\quad}$ $$ P(X=k)=\frac{\dbinom{K}{k} \cdot{} \dbinom{N-K}{n-k}}{\dbinom{N}{n}} $$, където $ \begin{array}{lclr} N&\rightarrow&\text{общ брой ученици}&=30 \\[6pt] K&\rightarrow&\text{общ брой отличници}&=10 \\[6pt] n&\rightarrow&\text{общ брой избрани в група}&=15 \\[6pt] k&\rightarrow&\text{отличници в избраната група}&=5 \end{array} $ $\\[12pt]\boxed{\quad(2)\quad}\\[6pt]$Понеже двама души не могат да изберат едно и също парче, дали теглят едновременно или един след друг няма значение за изхода на опита. $$ P=\dfrac{3}{10}\cdot{}\dfrac{2}{9}\cdot{}\dfrac{1}{8}=\cdots $$

[ptj]

15 от 30 ученици (неразличими един от друг) можем да изберем по [tex]C^{15}_{30}[/tex] начина.

5 от 10 отличници (неразличими) можем да изберем по [tex]C_{10}^5[/tex] начина.

10 от 20 ученици (не са отличници, неразличими) можем да изберем по [tex]C_{20}^{10}[/tex] начина.

Търсената вероятност е : [tex]P= \frac{C^5_{10}.C^{10}_{20}}{C^{15}_{30}}[/tex].

[peyo]

1. В клас от 30 ученици има 10 отличници. Класът е разделен по случаен начин на две равни части. Каква е вероятността във всяка част от класа да има по 5 отличници?

Това разбира се, се решава с Hypergeometric distribution:

In [101]: from scipy.stats import hypergeom

In [102]: hypergeom.pmf(5, 30, 10, 15)
Out[102]: np.float64(0.3001499250374812)

Хмм... Това ми изглежда малко много, но може би е вярно. Единствения начин да знаем със сигурност е да направим симулация.

ЧНГ!!!

[Гост]

Честита Нова Година! Бъдете здрави и щастливи!
Благодаря за помощта!

[peyo]

1. В клас от 30 ученици има 10 отличници. Класът е разделен по случаен начин на две равни части. Каква е вероятността във всяка част от класа да има по 5 отличници?

Това разбира се, се решава с Hypergeometric distribution:

In [101]: from scipy.stats import hypergeom

In [102]: hypergeom.pmf(5, 30, 10, 15)
Out[102]: np.float64(0.3001499250374812)

Хмм... Това ми изглежда малко много, но може би е вярно. Единствения начин да знаем със сигурност е да направим симулация.

ЧНГ!!!

Ок. Да се опитаме да решим задачата и по метода на преброяването, защото е най-забавно.

Имаме 10 отличници и всеки може да попадне вв една от двете групи. Хващаме един по един всеки отличник го слагаме в една група с неговата си вероятност. Първите 5 ще искаме да попаднат в първа група, а вторите 5 във втора група. Тогава вероятността първия да попадне в първа група е :
15/30
И втория да попадне в 1-ва група е:
(15/30)*(14/29)
И така първите 5:
(15/30)*(14/29)*(13/28)*(12/27)*(11/26)
Шестия добавяме малко по различно:
(15/30)*(14/29)*(13/28)*(12/27)*(11/26)*(15/25)
И така 10-те стават:
In [148]: (15/30)*(14/29)*(13/28)*(12/27)*(11/26)*(15/25)*(14/24)*(13/23)*(12/22)*(11/21)
Out[148]: 0.0011910711311011158

И това е вероятността за едно подреждане. Остава да преброим колко общо различни равновероятни подреждания имаме:

10 отличника са $10!$. Но всяка група от 5 са неразличини значи:
[tex]\frac{10!}{5! \cdot 5!}[/tex]

In [149]: math.factorial(10)/(math.factorial(5)*math.factorial(5))
Out[149]: 252.0

Хм... Само 252 различни подреждания. Аз си мислех, че ще са много. да видим крайния резултат:
In [150]: 0.0011910711311011158 * 252
Out[150]: 0.30014992503748117

Това прилича точно на стойността от Hypergeometricа, значи може и да е вярно.