Вероятности 9 клас

[Гост]

Моля за помощ със следните задачи:
1. От колода с 52 карти по случаен начин се изваждат 2. Каква е вероятността да са извадени 1 осмица и 1 асо?
2. В клас от 30 ученици има 10 отличници. Класът е разделен по случаен начин на две равни части. Каква е вероятността във всяка част от класа да
има по 5 отличници?
3. В кутия има 7 бели и 7 черни топки. Белите са номерирани с числата от 1 до 7. Черните също са номерирани с числата от 1 до 7. Без да гледаме,
теглим една топка. Намерете вероятността изтеглената топка да е:
а) бяла или с четен номер;
б) бяла и с четен номер.
4. Хвърляме 2 правилни зара. Намерете вероятността:
а) поне на единия зар да се паднат точки, кратни на 3;
б) поне на единия зар да се паднат четен брой точки.
5. Коледна питка е разрязана на 10 парчета, в точно 3 от които има монета. Трима души едновременно си избират по едно парче. Каква е вероятността и тримата да имат монета в своето парче?

[ammornil]

1. От колода с 52 карти по случаен начин се изваждат 2. Каква е вероятността да са извадени 1 осмица и 1 асо?

Скрит текст: покажи

Начините едновременно да се изтеглят две от петдесет и две карти, така че всяка една изтеглена карта е една от четири налични в колодата:[tex]\\[6pt] P=\dfrac{\dbinom{4}{1}\cdot{}\dbinom{4}{1}}{\dbinom{52}{2}}=\dfrac{4\cdot{}4}{\dfrac{52\cdot{}51}{2}}=\dfrac{4}{663}\\[6pt][/tex] Друг начин да се погледне, е вероятността при две последователни тегления да се изтеглят по една от четири налични карти в колода от петдесет и две карти:[tex]\\[6pt]P=\frac{4}{52}\cdot{}\frac{4}{51}=\frac{4}{663}[/tex]

2. В клас от 30 ученици има 10 отличници. Класът е разделен по случаен начин на две равни части. Каква е вероятността във всяка част от класа да
има по 5 отличници?

Скрит текст: покажи

$$ P(X=k)=\frac{\dbinom{K}{k} \cdot{} \dbinom{N-K}{n-k}}{\dbinom{N}{n}} $$, където [tex]\begin{array}{lclr} N&\rightarrow&\text{общ брой ученици}&=30 \\[6pt] K&\rightarrow&\text{общ брой отличници}&=10 \\[6pt] n&\rightarrow&\text{общ брой избрани в група}&=15 \\[6pt] k&\rightarrow&\text{отличници в избраната група}&=5 \end{array}[/tex]

[peyo]

4. Хвърляме 2 правилни зара. Намерете вероятността:
а) поне на единия зар да се паднат точки, кратни на 3;
б) поне на единия зар да се паднат четен брой точки.

Такива задачи където кават "поне" или "или" е по-лесно да решават с 1-"няма"

а) p= "поне на единия зар да се паднат точки, кратни на 3" = 1 - "да няма кратни на 3 никъде" = 1- (4/6)*(4/6) = 0.5555555555555556

б) p = "поне на единия зар да се паднат четен брой точки." = 1 -"няма четни никъде" = 1 - (3/6)*(3/6) = 0.75

[peyo]

1. От колода с 52 карти по случаен начин се изваждат 2. Каква е вероятността да са извадени 1 осмица и 1 асо?
Начините едновременно да се изтеглят две от петдесет и две карти, така че всяка една изтеглена карта е една от четири налични в колодата:[tex]\\[6pt] P=\dfrac{\dbinom{4}{1}\cdot{}\dbinom{4}{1}}{\dbinom{52}{2}}=\dfrac{4\cdot{}4}{\dfrac{52\cdot{}51}{2}}=\dfrac{4}{663}\\[6pt][/tex] Друг начин да се погледне, е вероятността при две последователни тегления да се изтеглят по една от четири налични карти в колода от петдесет и две карти:[tex]\\[6pt]P=\frac{4}{52}\cdot{}\frac{4}{51}=\frac{4}{663}[/tex]

Здрасти ammornilски! ЧНГ!
Това не изглежда да е съвсем вярно. От втората формула виждам, че търсим точно първата карта да е нещо и точно втората карта да е нещо, но условието както е написано по-скоро не специфицира реда в който да са подредени асото и 8-цата. Така по-правилния отговор би бил [tex]\\[6pt]P=2\cdot\frac{4}{52}\cdot{}\frac{4}{51}=\frac{8}{663}=0.012066365007541479[/tex]

[ammornil]

Това не изглежда да е съвсем вярно. От втората формула виждам, че търсим точно първата карта да е нещо и точно втората карта да е нещо, но условието както е написано по-скоро не специфицира реда в който да са подредени асото и 8-цата. Така по-правилния отговор би бил [tex]\\[6pt]P=2\cdot\frac{4}{52}\cdot{}\frac{4}{51}=\frac{8}{663}=0.012066365007541479[/tex]

Не мисля, че сте прав. Задачата може да се разгледа така: Ако асо се брои за петдесет, а картите с картинки по нула, каква е вероятността да изтеглим две карти, чиито сбор е петдесет и осем? По вашата логика, също така, ако искаме сборът от два зара да е определена сума (по-малка или равна на 12) също трябва да удвоим вероятностите. Не ми изглежда редно. Според мен, независимо в какъв ред излизат желаните карти, комбинация асо-осмица е същата като осмица-асо, за целите на описания опит.

[peyo]

Това не изглежда да е съвсем вярно. От втората формула виждам, че търсим точно първата карта да е нещо и точно втората карта да е нещо, но условието както е написано по-скоро не специфицира реда в който да са подредени асото и 8-цата. Така по-правилния отговор би бил [tex]\\[6pt]P=2\cdot\frac{4}{52}\cdot{}\frac{4}{51}=\frac{8}{663}=0.012066365007541479[/tex]

Не мисля, че сте прав. Задачата може да се разгледа така: Ако асо се брои за петдесет, а картите с картинки по нула, каква е вероятността да изтеглим две карти, чиито сбор е петдесет и осем? По вашата логика, също така, ако искаме сборът от два зара да е определена сума (по-малка или равна на 12) също трябва да удвоим вероятностите. Не ми изглежда редно. Според мен, независимо в какъв ред излизат желаните карти, комбинация асо-осмица е същата като осмица-асо, за целите на описания опит.

Това е много добър пример защо не трябва да сме сигурни, че сме решили задача с вероятности правилно, докато не направим симулация:

Код: Избери целия код

from random import shuffle

p,N = 0,1000000
Cards = [1,1,1,1] + [8,8,8,8] + [ 0 for a in range(52-2*4)]
for i in range(N):
    shuffle(Cards)
    c2 = Cards[:2]
    if 1 in c2 and 8 in c2:
        p+=1
print(p/N)


0.012111

Моя отговор изглежда да е по-верния.

[ammornil]

Да, в същност [tex]\\[6pt] P=\dfrac{\dbinom{4}{1}\cdot{}\dbinom{4}{1}}{\dbinom{52}{2}}=\dfrac{4\cdot{}4}{\dfrac{52\cdot{}51}{2}}=\dfrac{8}{663}\\[6pt][/tex]

p.s. Няма по-верен отговор... Моето второ решение е грешно.

[ammornil]

3. В кутия има 7 бели и 7 черни топки. Белите са номерирани с числата от 1 до 7. Черните също са номерирани с числата от 1 до 7. Без да гледаме,
теглим една топка. Намерете вероятността изтеглената топка да е:
а) бяла или с четен номер;
Вероятността изтеглена топка да е бяла е: $P(A)=\dfrac{7}{14}=\dfrac{1}{2}$. Вероятността изтеглена топка да е с четен номер е $P(B)=\dfrac{6}{14}=\dfrac{3}{7}$. Вероятността изтеглена топка да е едновременно бяла и с четен номер е $P(A\&B)=\dfrac{3}{14}$. Тогава търсената вероятност е $$P=P(A)+P(B)-P(A\&B)=\underbrace{\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{7}-\dfrac{3}{14}}_{14}=\dfrac{7\cdot{}1+2\cdot{}3-1\cdot{}3}{14}=\dfrac{10}{14}=\dfrac{5}{7}$$
б) бяла и с четен номер.
$P(A\&B)=\dfrac{3}{14}$


4. Хвърляме 2 правилни зара. Намерете вероятността:
а) поне на единия зар да се паднат точки, кратни на 3;
Вероятността един зар да даде не кратно на три показание е ако се падне 1, 2, 4 или 5, тоест $P(A)=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$. Вероятността едновременно и двата зара да дадат такова показание е $P=\dfrac{2}{3}\cdot{}\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}$ Тогава, ветояността поне единият зар да даде показание, което се дели на 3 е $$P(\tilde{A})=1-P(A)=1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}$$
По друг начин: вероятността един зар да даде показание делящо се на 3 е $P(A)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$. Вероятността и двата зара да дадат показание делящо се на 3 е $P(B)=\dfrac{1}{3}\cdot{}\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}$, тогава търсената вероятност е $P=2\cdot{}P(A)-P(B)=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{5}{9}$
б) поне на единия зар да се паднат четен брой точки.
Аналогично, два зара едновременно с нечетно показания имат вероятност $P(A)=\dfrac{3}{6}\cdot{}\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{4}$, тогава допълващата вероятност е поне единият да е с четно показание, тоест $$P(\tilde{A})=1-P(A)=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$$


5. Коледна питка е разрязана на 10 парчета, в точно 3 от които има монета. Трима души едновременно си избират по едно парче. Каква е вероятността и тримата да имат монета в своето парче? $$ P=\dfrac{3}{10}\cdot{}\dfrac{2}{9}\cdot{}\dfrac{1}{8}=\cdots $$

[ammornil]

И още един начин да изразим търсената вероятност в задача 5:

Скрит текст: покажи

5. Коледна питка е разрязана на 10 парчета, в точно 3 от които има монета. Трима души едновременно си избират по едно парче. Каква е вероятността и тримата да имат монета в своето парче?$\\[12pt]$
Общо възможните комбинации на три парчета от десет възможни е $C_{10}^{3}=\dbinom{10}{3}$. В случая, когато и трите избрани парчета имат монета, изборът е $C_{3}^{3}=\dbinom{3}{3}$,Тогава $\\[12pt] P=\dfrac{\dbinom{3}{3}}{\dbinom{10}{3}}=\dfrac{\dfrac{3!}{3!\cdot{}(3-3)!}}{\dfrac{10!}{3!\cdot{}(10-3)!}}\quad{} \Rightarrow \\[12pt]$ $$ P=\dfrac{\quad{}\quad{}1\quad{}\quad{}}{\dfrac{10\cdot{}9\cdot{}8}{3\cdot{}2\cdot{}1}}=\cdots{} $$

[peyo]

5. Коледна питка е разрязана на 10 парчета, в точно 3 от които има монета. Трима души едновременно си избират по едно парче. Каква е вероятността и тримата да имат монета в своето парче?

Ok, за любителите на вероятностите измислих още една задача по задача 5:

6. В зад. 5 е казано, че тримата души едновременно избират парче. Но какво става ако двама или трима изберат същото парче? В този случай ще анулираме избора и ще накараме тримата да изберат отново. Колко пъти средно ще трябва да избират така, че всеки да получи свое парче?

[Гост]

5. Коледна питка е разрязана на 10 парчета, в точно 3 от които има монета. Трима души едновременно си избират по едно парче. Каква е вероятността и тримата да имат монета в своето парче?

Ok, за любителите на вероятностите измислих още една задача по задача 5:

6. В зад. 5 е казано, че тримата души едновременно избират парче. Но какво става ако двама или трима изберат същото парче? В този случай ще анулираме избора и ще накараме тримата да изберат отново. Колко пъти средно ще трябва да избират така, че всеки да получи свое парче?

Expected value?

[peyo]

5. Коледна питка е разрязана на 10 парчета, в точно 3 от които има монета. Трима души едновременно си избират по едно парче. Каква е вероятността и тримата да имат монета в своето парче?

Ok, за любителите на вероятностите измислих още една задача по задача 5:

6. В зад. 5 е казано, че тримата души едновременно избират парче. Но какво става ако двама или трима изберат същото парче? В този случай ще анулираме избора и ще накараме тримата да изберат отново. Колко пъти средно ще трябва да избират така, че всеки да получи свое парче?

Ok, щом няма желаещи, аз ще пробвам да я реша.

In [242]: 1/(1*(9/10)*(8/10))
Out[242]: 1.3888888888888886

Изглежда вярно.