Комбинаторна задача

[Гост]

Здравейте, изпитвам затруднения със следната задача и моля за някакви насоки за решаването й:

Всяка от 6 разноцветни кутии може да побере до 5 шоколадови яйца. По колко различни начина могат да се разпределят 20 еднакви шоколадови яйца в тези 6 кутии, така че във всяка кутия има поне едно шоколадово яйце.

Благодаря предварително!

[ammornil]

Бърза симулация...

Скрит текст: покажи

Код: Избери целия код

from itertools import product

box_limits = [1, 2, 3, 4, 5]
valid_distributions = 0

for distribution in product(box_limits, repeat=6):
    if sum(distribution) == 20:
        valid_distributions += 1

print(valid_distributions)

[tex]1506[/tex]

[ammornil]

Аналитично, броят от начините по които можем да разделим $20$ яйца в $6$ кутии, когато във всяка кутия има поне едно яйце е броят на начините да разделим $14$ яйца в $6$ кутии, което е ${{14+6-1}\choose{6-1}}= {{19}\choose{5}}= 11628$.

Понеже имаме ограничение, следва да махнем подрежданията, в които в една кутия им повече от $5$ яйца, което за $6$ кутии е $6\cdot{{{14}\choose{5}}}= 12012$
Също така може да имаме подредби в които и втора кутия има $5$ яйца, което е в ${{6}\choose{2}} \cdot{} {{9}\choose{5}}= 1890$ случая, които ще са броени два пъти горното разглеждане и трябва да ги извадим оттам.
Не може да имаме три или повече кутии с повече от $5$ яйца, защото сборът ще надвиши $14$.

Броят на решенията на задачата е $11628 -(12012 -1890)= 1506$

[ammornil]

Видях че съм изял малко от обяснението. Моля да ме извините.

Аналитично, броят от начините по които можем да разделим $20$ яйца в $6$ кутии, когато във всяка кутия има поне едно яйце е броят на начините да разделим $14$ яйца в $6$ кутии, което е ${{14+6-1}\choose{6-1}}= {{19}\choose{5}}= 11628$.

Понеже имаме ограничение, следва да махнем подрежданията, в които в една кутия им повече от $5$ яйца, което за $6$ кутии е $6\cdot{{{14}\choose{5}}}= 12012$
Също така може да имаме подредби в които и втора кутия има повече от $5$ яйца, което е в ${{6}\choose{2}} \cdot{} {{9}\choose{5}}= 1890$ случая, които ще са броени два пъти горното разглеждане и трябва да ги извадим оттам.
Не може да имаме три или повече кутии с повече от $5$ яйца, защото сборът ще надвиши $14$.

Броят на решенията на задачата е $11628 -(12012 -1890)= 1506$

[Гост]

Много благодаря!