Задача за вероятност

[Гост]

Някой може ли да реши тази задача-Компания се състои от 6 мъже и 12 жени.Да се намери вероятността при случайното им групиране в 6 групи по 3 души във всяка група да има мъж.

[ammornil]

Някой може ли да реши тази задача-Компания се състои от 6 мъже и 12 жени.Да се намери вероятността при случайното им групиране в 6 групи по 3 души във всяка група да има мъж.

$\\[12pt]\quad$Моят прочит на задачата води до следното решение:$\\[6pt]\quad$Понеже става дума за хора, всяка тройка е уникална според тройката хора участващи в нея, но не и според реда на хората в нея. С други думи: тройките (Иван, Ана, Мария) и (Мария, Ана, Иван) са една и съща група, ако хората в нея са точно едни и същи.$\\[12pt]\quad$Броят на възможните комбинации от $m$ групи от по $k$ души от общо множество от $n$ души където подредбата има значение е $$ A= \prod_{i=0}^{m-1}{{n -i\cdot{k} \choose k}} $$ $\\[6pt]\quad$Понеже комбинации от едни и същи хора в различен ред са равностойни (редът няма значение), реално уникалните групирания са $$ A'=\dfrac{1}{m!}\cdot{A} $$ $\\[6pt]\quad$ Пресметнато за нашата ситуация, общият брой разпределения е $$ \boxed{ \quad A' =\dfrac{1}{6!}\cdot{18 \choose 3}\cdot{15 \choose 3}\cdot{12 \choose 3}\cdot{9 \choose 3}\cdot{6 \choose 3}\cdot{3 \choose 3} \quad } $$ $\\[6pt]\quad$Желаните комбинации са броят на начините по които можем да разделим жените в шест групи (отново няма значение реда на хората в групата) по начина на броя шестима мъже могат да се разпределят в групи по един, или в цифри e $F'= \dfrac{1}{6!}\cdot{12 \choose 2}\cdot{10 \choose 2}\cdot{8 \choose 2}\cdot{6 \choose 2}\cdot{4 \choose 2}\cdot{2 \choose 2}\cdot{6!}$ $$\boxed{ \quad F'= {12 \choose 2} \cdot{10 \choose 2} \cdot{8 \choose 2}\cdot{6 \choose 2}\cdot{4 \choose 2}\cdot{2 \choose 2} \quad }$$ $\\[6pt]\quad$Тогава търсената вероятност е $$ \boxed{ \quad \dfrac{F'}{A'}= \dfrac{ {12 \choose 2} \cdot{10 \choose 2} \cdot{8 \choose 2}\cdot{6 \choose 2}\cdot{4 \choose 2}\cdot{2 \choose 2}}{\frac{1}{6!}\cdot{18 \choose 3}\cdot{15 \choose 3}\cdot{12 \choose 3}\cdot{9 \choose 3}\cdot{6 \choose 3}\cdot{3 \choose 3}} \quad } $$

[peyo]

Някой може ли да реши тази задача-Компания се състои от 6 мъже и 12 жени.Да се намери вероятността при случайното им групиране в 6 групи по 3 души във всяка група да има мъж.

Да се опитаме да сметнем вероятността като слагаме първо само мъжетте в групи отделно:

Първия мъж да попадне в самостоятелна група вероятността е:
(18/18)
И втория мъж след това да попадне в самостоятелна група вероятността е:
(18/18)*(15/17)
И 3-тия мъж след това да попадне в самостоятелна група вероятността е:
(18/18)*(15/17)*(12/16)
...
И 6-тия мъж след това да попадне в самостоятелна група вероятността е:
(18/18)*(15/17)*(12/16)*(9/15)*(6/14)*(3/13)

In [84]: (18/18)*(15/17)*(12/16)*(9/15)*(6/14)*(3/13)
Out[84]: 0.03926955397543633

Дали това е отговора? Да направим една симулацийка и да видим:

Код: Избери целия код

from random import shuffle
from itertools import batched

p,N = 0,1000000
people= [0]*6 + [1]*12
for i in range(N):
    shuffle(people)
    if all( 0 in group for group in batched(people,3)):
        p+=1
print(p/N)


0.039324

[pal702004]

Имаме 18-битов стринг. В който има точно 6 единици - това са всички изходи. $C_{18}^6$

Благоприятни са тези, при които при разделянето на 6 тройки, във всяка тройка има точно 1 единица и 2 нули. Позицията на единицата във всяка тройка можем да изберем по 3 начина. Или $3^6$

$P=\dfrac{3^6}{C_{18}^6}=\dfrac{243}{6188} \approx 0.03927$