Задача за вероятност

[Гост]

Някой помощ със следната задача-В една урна има 2.M бели и 2.N черни топки.Изважда се едновременно M + N топки.Каква е вероятността в урната да са останали M бели и N черни точки.

[peyo]

Някой помощ със следната задача-В една урна има 2.M бели и 2.N черни топки.Изважда се едновременно M + N топки.Каква е вероятността в урната да са останали M бели и N черни точки.

Първо ще искаме да извадим M бели топки, а след тях веднага N черни:
12345678901234567890
ббббббббббччччччччч

12345678901234567890
бббббччччч

Да ознaчим за: S=M+N

M бели топки:
[tex]p_1 = \frac{2M}{2S} \cdot \frac{2M-1}{2S-1} \cdot \frac{2M-2}{2S-2} \cdot \cdot \cdot \frac{2M-M+1}{2S-M+1}[/tex]

след тях веднага N черни:

[tex]p_2 =\frac{2N}{2S-M} \cdot \frac{2N-1}{2S-M-1} \cdot \cdot \cdot \frac{2N-N-1}{2S-M -N +1}[/tex]

И сега се сещаме, чре няма нужда белите и черните да са подредени тоно в този ред, а може да са разбъркани и има (N+M)! разбърквания, които ни вършат работа:

[tex]p = p_1 p_2 S![/tex]

С което задачата предполагаме е решена. Но да се опитаме да представим формулите малко по-съкратено:

[tex]p_1 = \frac{ \frac{(2M)!}{(2M-M)!} }{ \frac{(2S)!}{(2S-M)!} } = \frac{ \frac{(2M)!}{M!} }{ \frac{(2S)!}{(2N+M)!} } = \frac{(2M)!}{M!} \frac{(2N+M)!}{(2S)!}[/tex]

[tex]p_2 =\frac{ \frac{(2N)!}{(2N-N)!} }{ \frac{(2S-M)!}{(2S-M-N)!} } =\frac{ \frac{(2N)!}{N!} }{ \frac{(2N+M)!}{S!} } = \frac{(2N)!}{N!} \frac{S!}{(2N+M)!}[/tex]

[tex]p = \frac{(2M)!}{M!} \frac{(2N+M)!}{(2S)!} \frac{(2N)!}{N!} \frac{S!}{(2N+M)!} S! = \frac{(2M)! (2N)! S! S! }{M! (2S)! N!}[/tex]

И тук ще спрем да опростяваме, защото няма голям смисъл. Някой може да продължи и да се опита да опрости още като представи това с бином на Нютон.

И сега въпроса който ни вълнува всички в този момент е дали този резултат е верен?!

[ammornil]

Някой помощ със следната задача-В една урна има 2.M бели и 2.N черни топки.Изважда се едновременно M + N топки.Каква е вероятността в урната да са останали M бели и N черни точки.

$\\[12pt]$Допускаме, че топките от един и същ цвят са неразличими една от друга. Нека произволно теглене има $m$ бели и $M+N-m$ чернит топки, за които е изпълнено $\begin{array}{|l} 0\leq{m}\leq{2\cdot{M}} \\ 0\leq{M+N-m}\leq{2\cdot{N}} \end{array}$. Очевидно равенствата на всеки ред не могат да са едновременно изпълнени. От предходната система можем да определим броя на валидните случаи за $m$: това е число, което е неотрицателно, по-голямо или равно на разликата $M-N$, не по-голямо от $2M$ и не по-голямо то $M+N$. Записано по друг начин $m\in[\max{(0,M-N)};\min{(2M, M+N)}]$. От това можем да кажем, че броят възможни комбинации е $\min{(2M, M+N)}-\max{(0,M-N)}+1$. От тях само една е желаната комбинация $m=M$, тоест вероятността е $$P(m=M)=\dfrac{1}{\min{(2M, M+N)}-\max{(0,M-N)}+1}$$ $\\[12pt]$

Скрит текст: покажи

$\begin{array}{|l} 0\leq{m}\leq{2\cdot{M}} \\ M-N\leq{m} \\ m\leq{M+N} \end{array}$

[ammornil]

ако топките от един и същ цвят са различими една от друга, тогава е приложима хипотезата на хипергеометричната вероятност $$ P=\dfrac{\normalsize{{2M \choose{M}}\cdot{{2N \choose {N}}}}}{\normalsize{{2M+2N \choose{M+N}}}} $$ $\\[12pt]$

Скрит текст: покажи

${n \choose{k}}=\dfrac{n!}{k!\cdot{(n-k)!}}$