2 урни с топки

[L.e.o]

В 1вата урна се намират 1 бяла и 9 черни топки, а във втората урна има 9 бели и 1 черна топка.
От 2рата урна се взети 5 топки и са сложени в 1вата, след което 5 топки са взети от 1вата и са върнати във 2рата.

а) Тегли се 1 топка от 1вата урна. Какъв е шансът тя да е бяла?
б) Колко итерации на горепосочения "обмен" на топки трябва да се извършат, след които ако се изтегли 1 топка от 1вата урна шансът тя да бъде бяла да бъде точно 50% (49.5% и 50.4% са равни на 50%)?

[L.e.o]

Някакви идеи?

[L.e.o]

1 седмица мина и още няма решение...

[allier]

Заинтригува ме с това, че още не е решена. Проста динамична система за изравняване на вероятностите.

Ако процентите концентрации на бели топки са p, q в началото (p=10%, q=90%), то след такова прехвърляне стават първо:
[tex]\frac{2p+q}{3 }[/tex] и q, и след връщането:
[tex]\frac{2p+q}{3 }[/tex] и [tex]\frac{\frac{2p+q}{3 }+q }{2 }=\frac{p+2q}{3 }[/tex].

Оттук следва, че сборът продължава да бъде равен на 100%, и остава да се сметне, че след 4 местеници става нещо от рода на [tex]49\frac{41}{81 }[/tex].

[L.e.o]

Не е много правилно...

[allier]

Кажи го направо твоето решение ... Тъкмо ще видя къде съм сбъркал. И без това никой друг не решава задачата, а аз я погледнах за 10-тина минути само.

[L.e.o]

а) 11/30
Твоята формула би довела до вероятността да се изтегли бяла топка от 2рата урна:
p+2q/3 = 19/3, което е всъщност броя бели топки във втората урна, не 1вата.
б) След всяка итерация, вер. да се изтегли бяла топка от 1вата урна е:
0 итерации - 1/10
1итерация - 11/30 (An/Bn = (An-1+Bn-1)/3Bn-1)
2 итерации - 41/90
3 итерации - 131/270
4 итерации - 401/810 ~ 50%

[allier]

Същото се получава и по моята формула. [tex]\frac{2p+q}{3 }=\frac{20+90}{3 }=\frac{110}{3 }[/tex]. Така че и двете са верни.

[L.e.o]

A какво е това "връщане"?
Така както си го написал излиза, че броя бели топки в 1вата урна след като сложиш 5 топки от 2рата урна в нея е :
2p+q/3
и след "връщането" 5 топки от 1вата във втората, броя бели топки останал в 1вата урна е:
2q+p/3
Както и да е.

[allier]

Аз го смятам все едно, че имаме течност с два различни състава ( в случая - топки, бели или черни). Като преливаме част от тази течност в друг съд, тя ще има същата концентрация както в оригиналния съд.