комбинаторика

[andrea_doll]

По колко начина 5 различни задачи могат да се разпределят на трима ученика?

[inveidar]

Има ли значение по колко задачи на ученик ще даваме или не? Както си написал условието не би трябвало и е възможно двама ученика да останат без задача, така ли?

[andrea_doll]

Така е зададена задачата. И аз затова я умувам и се чудя. Мисля, че всеки трябва да има поне по 1 задача.

[inveidar]

Щом не е казано, ще приемем, че някой може и да няма задача. Възможни са следните случаи:
1) единият има 5 задачи, а другите двама по 0 - Това са 3 начина(този с петте задачи може да е всеки един от тримата)
2) единият няма задача, а другите двама имат съответно 2 и 3 задачи(или 3 и 2). Това са 2( 3.[tex]C_{5}^{2})=60[/tex] начина
3) разпределението на задачите е 1,1,3, т.е 3.5.4=60 начина, или 1,2,2, т.е 3.5.[tex]C_{4}^{2}=90[/tex] начина. Така всички възможни начини са 213?

[L.e.o]

Нека 1во разгледаме една друга задача:
По колко начина 5 бонбона могат да се разпределят на трима ученика?
Комбинациите са: 5+4+3+2+1 = 15
Но в текущата задача задачите не са бонбони и са различни. Тоест, всяка комбинация си има и подкомбинации в зависимост коя задача точно при който ученик е разпределена.

Аз ги изкарах 243.

[inveidar]

Прав си! Изпуснал съм случая когато един има 4 задачи, един - 1 и един - 0! Това са още тридесет случая и отговорът наистина е 243!!!

[inveidar]

А ето и един много по-лесен начин да се реши тази задача. Да номерираме трите ученика с цифрите 1,2 и 3. Тогава, тъй като всяка задача отива при някой ученик, то всяка от петте задачи получава една от цифрите 1,2 или 3. Сега вече е ясно, че всички варианти са 3.3.3.3.3=243. Nice, а?!
По аналогичен начин можем да решим и по-общата задача: По колко начина можем да разпределим [tex]m[/tex] задачи на [tex]n[/tex] ученика. И отговорът е???

[Mr.G{}{}Fy]

А ето и един много по-лесен начин да се реши тази задача. Да номерираме трите ученика с цифрите 1,2 и 3. Тогава, тъй като всяка задача отива при някой ученик, то всяка от петте задачи получава една от цифрите 1,2 или 3. Сега вече е ясно, че всички варианти са 3.3.3.3.3=243. Nice, а?!
По аналогичен начин можем да решим и по-общата задача: По колко начина можем да разпределим [tex]m[/tex] задачи на [tex]n[/tex] ученика. И отговорът е???

Доста интересен начин Т.е. Ти казваш така : 1-ва задача може да отиде при 3-ма човека,2рата също и т.н. до 5 Нали ? А относно решението наистина ти спестява мъките както в предишните