Хвърлят се едновременно 100 монети. Каква е вероятността...

[Mr.G{}{}Fy]

1. Четири коледни картички са пуснати по случаен начин,но по една,в кутиите на получателите им.Каква е вероятността поне една от картичките да е пусната в правилната кутия?
2.Хвърлят се едновременно 100 монети.Каква е вероятността точно 50 от тях да показват "герб"?
3.Десет души трябва да се разделят на 5 отбора по 2-ма участници за състезание по спортен бридж.По колко различни начина може да стане това?
4.По колко различни начина 12 еднакви монети могат да бъдат пуснати в 5 различни касички така,че във всяка касичка да има поне по една монета?

[inveidar]

1) Ще пресметнем вероятността нито една от картичките да не е в правилната кутия. За една от картичките имаме три възможности. За картичката, в кутията на която сме поставили предишната, имаме също три възможности. За третата картичка, в кутията на която сме поставили предишната, вече имаме две възможности, и за последната картичка - една възможност. Общо 3.3.2.1=18 възможности. Вероятността е [tex]\frac{18}{ 4!}=\frac{3}{ 4}[/tex]. Тогава вероятността поне една картичка да си е на мястото е [tex]\frac{1}{ 4}[/tex]

[inveidar]

2) Ако при хвърляне на стоте монети отбележим герб с 1, а тура с 0, то ще получим редица от сто члена, състояща се само от единици и нули. Да преброим всички такива редици. Ако са само нули, редицата е една. Ако има една единица, то редиците са 100. Ако има две единици, редиците са [tex]C_{100}^{2}[/tex] клас. Изобщо, ясно е, че броят на всевъзможните такива редици е [tex]C_{100}^{0}+C_{100}^{1}+C_{100}^{2}+...+C_{100}^{100}=2^{100}[/tex]. Сега, тъй като благоприятните са [tex]C_{100}^{50}[/tex], то вероятността да се паднат точно 50 герба трябва да е [tex]\frac{C_{100}^{50}}{2^{100} }[/tex].

[inveidar]

3) Първия участник за първия отбор можем да изберем по 10 начина, а втория - по 9, т.е първия отбор можем да определим по 10.9 начина. Втория отбор вече избираме измежду 8 участника и получаваме 8.7 начина. Третия - 6.5 начина. Четвъртия - 4.3 начина и за петия остава един начин. Общо - 10.9+8.7+6.5+4.3+1=189 начина.

[inveidar]

4) Можем да номерираме касичките с цифрите от 1 до 5 и да предполагаме, че всяка монета си е получила касичка, т.е номерче от 1 до 5. Така получаваме редица от дванадесет члена, всеки един от които може да бъде произволно число от 1 до 5. Ясно е, че броят на всички такива редици е [tex]5^{12}[/tex]. Това би бил отговорът, ако го нямаше изискването във всяка касичка да има монета, т.е в този брой се включват и случаите, когато има касички без монети. Сега ще преброим и тези случаи. Ако в една касичка няма монети, то на мястото на членовете от редицата могат да стоят само 4 числа и тогава броят на тези редици е [tex]4^{12}[/tex] и тъй като може да е празна всяка една от петте касички, то броят на редиците, отговарящи на една празна от петте касички е [tex]5.4^{12}[/tex]. Аналогично, ако са празни две от петте касички, броят е [tex]C_{5}^{2}.3^{12}[/tex]. Ако са празни три от петте - [tex]C_{5}^{3}.2^{12}[/tex]. Ако са празни четири от петте, то възможността е само една. Окончателно, броят на различните начини по които 12 еднакви монети могат да бъдат пуснати в пет касички, като във всяка касичка има поне по една монета е
[tex]5^{12}[/tex]-[tex]5.4^{12}[/tex]- [tex]C_{5}^{2}.3^{12}[/tex]-[tex]C_{5}^{3}.2^{12}[/tex]-1[tex]=244140625-83886080-5314410-40960-1=154899174[/tex]. Но това мое решение май е за дванадесет различими монети?
Ако монетите са неразличими, то нещата са много по прости. Задължени сме да пуснем във всяка касичка по една монета. Остават седем монети.Възможните разпределения по касички са:
7,0,0,0,0=5 начина
6,1,0,0,0=5.4=20 начина
5,2,0,0,0=5.4=20 начина
5,1,1,0,0=5.6=30 начина
4,3,0,0,0=5.4=20 начина
4,2,1,0,0=5.4.3=60 начина
4,1,1,1,0=5.4=20 начина
3,3,1,0,0=10.3=30 начина
3,2,2,0,0=5.6=30 начина
3,2,1,1,0=5.4.3=60 начина
3,1,1,1,1=5 начина
2,2,2,1,0=10.2=20 начина
2,2,1,1,1=10 начина
Общо 330???

[L.e.o]

1. Четири коледни картички са пуснати по случаен начин,но по една,в кутиите на получателите им.Каква е вероятността поне една от картичките да е пусната в правилната кутия?

Каква е вероятността нито една да не пусната на правилното място? Р = 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/4. Тоест вероятността поне една да е пусната на правилното място е 3/4.

2.Хвърлят се едновременно 100 монети.Каква е вероятността точно 50 от тях да показват "герб"?
Има си точна формула:
[tex]W_n^k = \(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\).p^k(1-p)^{(n-k)}[/tex]
n - броя на всичките опити
к - броя на успешните опити
p - вероятността за успешен опит
В твоя случaй: n=100, k=50, p=0.5

3.Десет души трябва да се разделят на 5 отбора по 2-ма участници за състезание по спортен бридж.По колко различни начина може да стане това?
Вземи по-лекият вариант: Колко варианта има 4ма души да се разделят в 2 отбора по 2ма в отбор. Р = 4.3 = 12
Тоест, за 10 души в 5 отбора по 2ма в отбор става: Р = 10.9 + 8.7 + 6.5 + 4.3 = 188

4.По колко различни начина 12 еднакви монети могат да бъдат пуснати в 5 различни касички така,че във всяка касичка да има поне по една монета?
Разсъждавай така: Монетите са еднакви. 5 от тях са пуснати по 1 в касичка да се гарантира изискването. Остават 7 монети. Задачата става: По колко начина могат да се разпределят 7 Mонети в 5 Kасички?
[tex]P = \(\begin{array}{c}M+K-1\\M\end{array}\)= \(\begin{array}{c}11\\7\end{array}\)[/tex] = 330

[Mr.G{}{}Fy]

По първа задача логиката ми изглежда вярна,но май не е! Нека правилната наредба да е 1,2,3,4 ,което значи,че в първата кутия трябва да пуснем картичка номер 1,във втората картичка номер 2 и т.н.
Нека вземем картичка номер 1 като можем да я пуснем на 3 места и нека да сме улучили втората кутия.Тогава трябва да вземем картичка номер 2 и я взимаме.Нея можем да пуснем на 3 места и нека да сме улучили първата кутия,но след това трябва да вземем първата картичка,но тя вече е пусната ...
Отговорът трябва да е 5/8.
Втората е вярна както я е решил инвейдър.
3-тата : Лео,написаното от теб показва,че от 4 човека можем да сформираме 12 отбора(различни),но тъй като няма значение кой участник избираме пръв и кой втори трябва да е 6.Също така от 4 човека можем да сформираме 3 различни двойки отбори.Разпиши ги и ще се види.А и по начина,който сте написали трябва от 4 човека да можем да образуваме доста двойки ...
Отговорът трябва да е 945(според учебника).
4.Лео,отговорът ти е верен.В началото и аз расъждавах така,че остават 7 монетки и трябва да ги разпределя в 5 касички,но след това можеш ли да го обясниш по-подробно.

[allier]

1) [tex]Q=\frac{1}{0! }-\frac{1}{1! }+\frac{1}{2! }-\frac{1}{3! }+\frac{1}{4! } = \frac{9}{24 }[/tex]
[tex]P = 1-Q = \frac{5}{8 }[/tex]

3) 9.7.5.3 = 945

[L.e.o]

1. Прав си. Грешно е моето. Трябва да се помисли...

3. Леле, няма такава глупост каквато съм написал.
4 човека , 2ма в отбор - Вариантите са 3, не са нито 12, нито 6 (кобинациите АВ=ВА са равни). Човека Х има 3 опции с кой да е в отбор. 3 варианта.
Но ние имаме 10 човека в 5 отбора по 2ма. За 1вия отбора опциите са: Човека Х да е с 9 различни съотборника. 9 опции. За 2рия отбор, Човека У може да е съотборник с 7 човека. 7 подопции. За 3тия отбор има 5 подподопции. За 4тия - 3 подподподопции. За 5тия - каквото е останало.
Р = 9.7.5.3 = 945

4. Кое по подробно да обесня? Формулата си е такава.

[Mr.G{}{}Fy]

Аз за 3-та си мислех [tex]\frac{\frac{10.9}{ 2} .\frac{8.7}{ 2}.\frac{6.5}{ 2}.\frac{4}{ 3}.\frac{2.1}{.2 }}{5! }[/tex] и май така отговорът излезе.Този начин по 1 време ми изглежедаше много логичен.Само трябва като логика да го обмисля,ако е вярно.
Лео,това което питах беше логично обяснение след там откъдето написах.Не ми е ясна логиката,от която идва формулата.
Ейлиър,може ли да разясниш магийките по 1-ва
П.П.Видях,че инвейдър е решил последната задача.Но все пак въпросът ми остава:Дали има някакъв начин без разписване(а явно има),който някой да ми обясни.

[inveidar]

3) Първия участник за първия отбор можем да изберем по 10 начина, а втория - по 9, т.е първия отбор можем да определим по 10.9 начина. Втория отбор вече избираме измежду 8 участника и получаваме 8.7 начина. Третия - 6.5 начина. Четвъртия - 4.3 начина и за петия остава един начин. Общо - 10.9+8.7+6.5+4.3+1=189 начина.

Дааааа. Малко съм се объркал! Наистина всеки от начините го делим на две и след това ги умножаваме, а не ги събираме. Най-накрая всичко делим на 5!, защото иначе броим всеки пет отбора по 5! начина. Ужас!

[Mr.G{}{}Fy]

3) Първия участник за първия отбор можем да изберем по 10 начина, а втория - по 9, т.е първия отбор можем да определим по 10.9 начина. Втория отбор вече избираме измежду 8 участника и получаваме 8.7 начина. Третия - 6.5 начина. Четвъртия - 4.3 начина и за петия остава един начин. Общо - 10.9+8.7+6.5+4.3+1=189 начина.

Дааааа. Малко съм се объркал! Наистина всеки от начините го делим на две и след това ги умножаваме, а не ги събираме. Най-накрая всичко делим на 5!, защото иначе броим всеки пет отбора по 5! начина. Ужас!

Случва се

[inveidar]

Тук отново съм се олял!!!

1) Ще пресметнем вероятността нито една от картичките да не е в правилната кутия. За една от картичките имаме три възможности. За картичката, в кутията на която сме поставили предишната, имаме също три възможности. За третата картичка, в кутията на която сме поставили предишната, вече имаме ЕДНА(ЗАЩОТО ЧЕТВЪРТАТА НЕ ТРЯБВА ДА СИ Е НА МЯСТОТО!!!) възможности, и за последната картичка - една възможност. Общо 3.3.1.1=9 възможности. Вероятността е [tex]\frac{9}{ 4!}=\frac{3}{ 8}[/tex]. Тогава вероятността поне една картичка да си е на мястото е [tex]\frac{5}{ 8}[/tex]

Така е с бързата работа!!! Или тези избори са ме ошашавили?!

[brasilo2]

Здравейте,всички погледнах първата задача и не би ли трябвало да е така :
Ще използваме формулата на Хаосът за да пресметнем в колко от случаите нито една от картичките няма да попадне на мястото си т.е ако този брой ни е означен с [tex]A[/tex] ще е равен на
[tex]4(\frac{1}{2! }-\frac{1}{3! }+\frac{1}{4! }) =9[/tex] и тъй като имаме 8 начина на разпределение когато една картичка е на правилното място ,съответно 6 начина на разпределение когато 2 картички са на мястото си и 1 вариант когато всики са на местата си т.е имаме [tex]9+8+6+1=24[/tex]варианта. тоест Отговорът може би е [tex]\frac{8}{24 }[/tex]?

[brasilo2]

Поправка от 24 изваждаме 9 защото се изисква поне една и отговорът е 15/24 или [tex]5/8[/tex]