три задачи от олимпиади

[wonderer]

Здравейте,

предлагам на вашето внимание 3 задачи от олимпиади и искам да помоля за помощ за решаването им

1)Нека Q е среда на страната AC в ▲ABC и L е отсечка от AQ. През върха С с средата на K на BL е прекарана права, която пресича BQ в М. Намерете [tex]S_{ABC}[/tex], ako [tex]S_{BMC}[/tex] = 42 и [tex]S_{ALM}[/tex] = 9.

2)За ▲ABC точките M и N са такива, съответно от AB и BC, че AM=2MB и CN=2NB, а Р е произволна точка от страната АС. [tex]S_{MBNP}[/tex] = S. Намерете лицето на ▲ABC.

3)Нека М и N са среди съответно на страните BC и АД на четириъгълника ABCD. Намерете лицето на AMCN, ако [tex]S_{ABCD}[/tex] = 20

[ева]

3 зад. Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]АВМ и [tex]\triangle[/tex]АМС,нека АН е височина в [tex]\triangle[/tex]АВС.
S(ABM)=[tex]\frac{ВМ.АН}{2}[/tex]
S(АМС)=[tex]\frac{МС.АН}{2}[/tex] от ВМ=МС [tex]\Rightarrow[/tex]S(ABM)=S(AMC)
По същия начин док.,че S(ACN)=S(NCD)
получаваме S(AMC)=[tex]\frac{S(ABC)}{2}[/tex] ,S(ACN)=[tex]\frac{S(ACD)}{2}[/tex]
S(AMCN)=S(AMC)+S(ACN)=[tex]\frac{S(ABC)}{2}[/tex]+[tex]\frac{S(ACD)}{2}[/tex]=[tex]\frac{S(ABC)+S(ACD)}{2}[/tex]=[tex]\frac{S(ABCD)}{2}[/tex]=[tex]\frac{20}{2}[/tex]=10
отг.10

[ева]

2 зад. Идеята за р-е е същата като в 3 зад.
В по-горните класове се ползва,че медианата дели тр-ка на два равнолицеви тр-ка. За 5 клас-мисля,че трябва да се док.Вижте как доказахме това в 3 зад.
Нека т.Т,т.N делят ВС на 3 равни отс.,а т.К,т.М делят АВ на 3 равни отс.; PK,PM,PN,PT са медиани в пазлични тр-и [tex]\Rightarrow[/tex]
S(PBN)=S(PNT)=S(PTC)=[tex]S_{1 }[/tex]
S(MBP)=S(KMP)=S(AKP)=[tex]S_{2 }[/tex]
S(ABC)=3[tex]S_{1 }[/tex]+3[tex]S_{2 }[/tex]=3([tex]S_{1 }[/tex]+[tex]S_{2 }[/tex])=3S
отг. 3S