Задача от олимпиада

[Baltazar]

Здравейте! Нов съм тук, но преди съм пускал доста теми като "Гост". Понеже вие ми помагахте наистина бързо и отчетливо реших да стана част от форума. Но в четвъртък съм на олимпиада и две задачи не ми дават мира. Ще съм ви благодарен ако ми помогнете.

untitled.JPG (26.58 KiB) Прегледано 412 пъти

Бихте ли ми казали решението?

[Xixibg]

[tex]A=2+|4^{29}.|32^{17}-4^{42}|:2^{58}-8^{28}|=2+|(2^{29})^2.|(2^5)^{17}-(2^2)^{42}|:2^{58}-(2^3)^{28}|=2+|2^{58}.|2^{85}-2^{84}|:2^{58}-2^{84}|[/tex]
[tex]A=2+|2^{58}.|2^{84}(2-1)|:2^{58}-2^{84}|=2+|2^{58}.2^{84}:2^{58}-2^{84}|=2+|\cancel{2^{58}}.2^{84}:\cancel{2^{58}}-2^{84}|=2+|2^{84}-2^{84}|=2[/tex]

[tex]B=-27+3.(-5(-3)+12,4-3,2.7)=-27+3.(15+12,4-22,4)=-27+3.5=-27+15=-12[/tex]

[tex]A^{2007}+(-B)^{2006}[/tex]
[tex]2^{4k+1}\equiv 2(mod 10)[/tex] ([tex]2^{4k+1}[/tex] дава остатък 2 при делене на 10)
[tex]2^{4k+2}\equiv 4(mod 10)[/tex] ([tex]2^{4k+2}[/tex] дава остатък 4 при делене на 10)
[tex]2^{4k+3}\equiv 8(mod 10)[/tex] ([tex]2^{4k+3}[/tex] дава остатък 8 при делене на 10)
[tex]2^{4k}\equiv 6(mod 10)[/tex] ([tex]2^{4k}[/tex] дава остатък 6 при делене на 10)
[tex]2007=2004+3=4.501+3=4k+3 ; =>A^{2007}\equiv 8(mod 10)[/tex]([tex]A^{2007}[/tex] дава остатък 8 при делене на 10)
[tex]12^{4k+1}\equiv 2(mod 10)[/tex] ([tex]12^{4k+1}[/tex] дава остатък 2 при делене на 10)
[tex]12^{4k+2}\equiv 4(mod 10)[/tex] ([tex]12^{4k+2}[/tex] дава остатък 4 при делене на 10)
[tex]12^{4k+3}\equiv 8(mod 10)[/tex] ([tex]12^{4k+3}[/tex] дава остатък 8 при делене на 10)
[tex]12^{4k}\equiv 6(mod 10)[/tex] ([tex]12^{4k}[/tex] дава остатък 6 при делене на 10)
[tex]2006=2004+2=4.501+3=4k+2 ; =>B^{2006}\equiv 4(mod 10)[/tex]([tex]B^{2006}[/tex] дава остатък 4 при делене на 10)
[tex]=>A^{2007}+(-B)^{2006}\equiv 8+4(mod 10) ; =>A^{2007}+(-B)^{2006}\equiv 2(mod 10)[/tex]([tex]A^{2007}+(-B)^{2006}[/tex] дава остатък 2 при делене на 10)
Търсеното число завършва на 2

[inveidar]

Би ли ни казал от коя година е темата?

[Baltazar]

Би ли ни казал от коя година е темата?

Това са задачи от миналогодишната олимпиада.