Задача от олимпиада

[Baltazar]

Добър ден! Бихте ли ми помогнали? В четвъртък съм на олимпиада а тази задача ме тормози, а съм чувал, че точно за нея дават най - много точки? Ще се радвам ако ми кажете решението.

untitled.JPG (20.38 KiB) Прегледано 476 пъти

[Xixibg]

[tex]\overline{ab}=10a+b[/tex]
1.a)Нека [tex]a\ne 0 , b\ne 0 ; =>\overline{aa}, \overline{ab} ,\overline{ba}, \overline{bb}[/tex] са всички двуцифрени числа съставени от цифрите [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex]
[tex]S=\overline{aa}+\overline{ab}+ \overline{ba} +\overline{bb}=10a+a+10a+b+10b+a+10b+b=22(a+b)[/tex]
[tex]=>S:(a+b)=22(a+b):(a+b)=22[/tex]
b)[tex]S:(a+b)=22 ; =>a+b=286:22=13[/tex]
[tex]=>b=13-a[/tex]
[tex]\overline{ab}=10a+b=10a+13-a=9a+13 =n^2 (n\le 9 ; n\in Z^+); =>n^2-4=9(a+1)[/tex]
[tex]=>(n-2)(n+2)=9(a+1)[/tex]
Дясната страна на равенството се дели на 9 следова и лявата трябва да се дели на 9 .
[tex]=>n-2=0 ; =>n=2 ; =>a=-1[/tex] , което е невъзможно
и [tex]n+2=9 ; =>n=7[/tex] , което е търсеното число.
Търсените цифри са [tex]a=4 ; b=9[/tex]



2.Нека [tex]b=0 ; a\ne 0 ; =>\overline{aa}, \overline{a0}[/tex] са всички двуцифрени числа съставени от цифрите [tex]a[/tex] и [tex]0[/tex]
[tex]S=\overline{aa}+\overline{a0}=10a+a+10a=21(a+0)[/tex]
[tex]=>S:(a+0)=21(a+0):(a+0)=21[/tex]
b)[tex]S:(a+b)=21 ; =>a+b=286:21[/tex] , което не е цяло число следователно [tex]S=286[/tex] е невъзможно ако една от цифрите е нула.

P.P.
Написах вторият случай тъй като автора на задачата поради разсеяност или некомпетентност е пропуснал да уточни ,че цифрите трябва да са различни от нула.

[inveidar]

Хихи, защо трябва да се отбелязва, че цифрите са различни от нула? Просто трябва всеки, като теб да разгледа случаите. А за подточка б) при втория случай се вижда още в началото, че няма как S да е 286, ако едната цифра е нула. Защо бързаш да обидиш някой и изпадаш в некомпетентност?