Нуждая се от помощ за две задачи!

[Гост]

Нуждая се от помощ за две задачи!

Първата задача е: Да се намерят всички четирицифрени числа от вида aabb, т.е. първите им две цифри да са равни помежду си, последните две цифри - също, и освен това да са точни квадрати на цели числа.

Втората задача е: По окръжност са написани 108 числа по такъв начин, че сборът на бсеки 20 последователни числа е равен на 1000. Ако е известно, че на първо място стои числото 1, на 19-то място - числото 19, а на 50-то - числото 50, намерете кое число е написано на 100-то място.

Ако ми помогнете ще Ви бъда много благодарен!

[ptj]

[tex]\bar{aabb}=11.(100a+b)[/tex] е точен квадрат точно когато

[tex]\bar{a0b}=100a+b=11.n^2[/tex] , където [tex](n\in N)[/tex].

Понеже [tex]100a\equiv a \pmod{11}[/tex],

то [tex]a+b\equiv 0 \pmod{11} \Leftrightarrow a+b=11[/tex]

Освен това [tex]100a+b=9.11.a+(a+b)[/tex],

т.е. [tex]n^2=9a+\frac{a+b}{11 }=9a+1[/tex]

Решение е само [tex](a;b)=(7;4)[/tex]



2-ра задача е подвеждаща.

Ако се движим в една посока (например по часовникова стрелка) всяко [tex]n[/tex]-то число ще бъде и [tex](n+19)[/tex]-то. Т.е. 1 ще стои на 1;20;40;60;80;100 места.

Нещо повече понеже най-малкото [tex]n[/tex], за което [tex]20[/tex] дели [tex]108.n[/tex] е [tex]5[/tex],
то по окръжността ще има само [tex]4[/tex] различни числа, всяко от тях се среща точно [tex]\frac{540}{20 }=27[/tex] пъти.

П.П. Ако не разбирате сравнения, които са използвани в 1-ва задача - пишете и утре ще ви я обясня по-елементарно.

[pal702004]

Лека поправка - всяко [tex]n[/tex]-то число ще бъде и [tex]n+20[/tex]-то. Тоест, 1 ще бъде на позиции [tex]1,21,41,\cdots[/tex].
[tex]a_1+a_2+\cdots +a_{20}=a_2+\cdots a_{21}\;\Rightarrow\; a_{21}=a_1[/tex]
И тъй като числата са 108, то броят на различните числа е делител на [tex]\gcd(20,108)=4[/tex]
И тъй като има поне 3 различни, то те са 4:
[tex]1,50,19, 130.[/tex]

Струва ми се, че и двете са доста сложни за 6-ти клас.

[ptj]

Да, така е.
Ще се опитам да обясня кое е 100 число разбираемо за един 6-то класник.
Понеже 108=5.20+8, то след едно пълно завъртане
номерата на числата ще се преместват с 12 напред (12=20-8).
Тогава след първото завъртане ще получим, че 13-тото число е 1.
След 2-рото завъртане: 25-то, т.е. 5-то число също 1.
След 3-то завъртане: 17-то число е 1.
След 4-то завъртане: 29-то ,т.е. 9-то число е 1.
Тогава 1 стои на места: 20n+1; 20n+13; 20n+5; 20n+17; 20n+9.
Аналогично:
19 стои на [tex]20n+19; 20n+7; 20n+15; 20n+3; 20n+11[/tex],

50 стои на 20n+10; 20n+2 ; 20n+14; 20n+6; 20n+18.

Вече казахме, че числата са само 4, тогава [tex]5.(1+19+50+x)=1000[/tex], т.е. [tex]x=130[/tex].

Ако разгледаме горните 3 групи числа, може да забележим, че те дават едни и същи остатъци при деление на 4,
тогава 1 стои на места [tex]4n+1[/tex],
50 стои на места с номер [tex]4n+2[/tex], 19 стои на места с номер [tex]4n+3[/tex],
130 стои на места с номер [tex]4n[/tex], (n=0,1,2...) .

Крайния отговор е 100-то число е 130.






П.П. Такива задачи дават на състезанията за 6-ти клас.

[pal702004]

100-то число ще е същото като 4-то.
Всички номера [tex]1 \pmod 4[/tex] са [tex]1[/tex]
Всички номера [tex]3 \pmod 4[/tex] са [tex]19[/tex]
Всички номера [tex]2 \pmod 4[/tex] са [tex]50[/tex]
Следователно всички номера [tex]0 \pmod 4[/tex] са [tex]130[/tex]

[Гост]

В първа задача не разбирам защо a+b=11. Ако някой може да ми обясни ще съм благодарен.

[Гост]

Също така не разбирам защо във втората задача първото число е и на 21-во, 41-во...

[ptj]

Също така не разбирам защо във втората задача първото число е и на 21-во, 41-во...

[tex]a_1+(a_2+a_3+...+a_{19}+a_{20})=(a_2+a_3+...+a_{19}+a_{20})+a_{21}\Rightarrow a_1=a_{21}[/tex]

[ptj]

В първа задача не разбирам защо a+b=11. Ако някой може да ми обясни ще съм благодарен.

Защото сумата на 2 цифри се дели на 11 само когато тя е равна на 11.