Задача по математика!

[Гост]

Задача: Квадрат със страна 8 е разделен на 64 малки квадратчета със страна 1 и във всяко квадратче е написано по едно неотрицателно число, така че ако две квадратчета са симетрични относно някой от диагоналите на квадрата, числата, които са написани в тях, са равни. Дадено е, че сборът от числата във всички квадратчета е 2000, а сборът от числата, написани в квадратчетата по диагоналите на квадрата, е 200. Да се докаже, че сборът от числата, в кой да е стълб на таблицата не надминава 550.

[ptj]

[tex]\begin{bmatrix}
97 & 195 & 1 & 1& 1 & 1 & 195 & 97 \\
195 & 1 & 1 & 1& 1 & 1 & 1 & 195 \\
1 & 1 & 1 & 1& 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1& 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1& 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1& 1 & 1 & 1 & 1 \\
195 & 1 & 1 & 1& 1 & 1 & 1 & 195 \\
97 & 195 & 1 & 1& 1 & 1 & 195 & 97
\end{bmatrix}[/tex]

4.97+8.195+52.1=2000
2.97+6.1=200
2.195+2.97+4.1=588

П.П. За да е вярна задачата максимума за стълб трябва да се смени с 589.

[Гост]

Може ли да опишете задачата подробно като за шестокласник, защото я имам за дом. работа и ми трябва обяснение как се стига до тези числа!

Благодаря!!!

[Knowledge Greedy]

Едва в последния момент установих, че съм решавал друга задача. Промененото условие съм отбелязал по-долу с друг цвят.

Задача: Квадрат със страна 8 е разделен на 64 малки квадратчета със страна 1 и във всяко квадратче е написано по едно цяло положително число, така че ако две квадратчета са симетрични относно някой от диагоналите на квадрата, числата, които са написани в тях, са равни. Дадено е, че сборът от числата във всички квадратчета е 2000, а сборът от числата, написани в квадратчетата по диагоналите на квадрата, е 200. Да се докаже, че сборът от числата, в кой да е стълб на таблицата не надминава 538.
Решение.
Да разгледаме един стълб (който не е първи или последен) - например третия.

ТАБЛИЦА 8 НА 8.PNG (4.03 KiB) Прегледано 857 пъти

Клетките, в които има равни числа, според условието, са оцветени с един и същи цвят. След като сборът на числата в цялата таблица е [tex]2000[/tex], то в една нейна четвъртина сборът на числата ще е [tex]500[/tex].

ТАБЛИЦА 8 НА 8 четвъртина.PNG (3.69 KiB) Прегледано 857 пъти

Защо е така? Защото в черните клетки в двата диагонала могат да се сложат най-много [tex]4.47=188[/tex], а за останалите [tex]12[/tex] клетки остават [tex]12[/tex] - по [tex]1[/tex] в диагонална клетка.
В сивите клетки се поставя по [tex]1[/tex] и така в половината стълб сумата на числата е [tex]267[/tex].
Следователно в целия стълб сборът на числата е не по-голям от [tex]534[/tex].

Сборът на числата в клетките на един стълб може да се увеличи, ако е първи или последен.

ТАБЛИЦА 8 НА 8 две.PNG (1.88 KiB) Прегледано 857 пъти

С подобни разсъждения установяваме, че максималният сбор е [tex]538[/tex].

Решението на задачата с оригиналното условие е абсолютно същото, само че там където е поставено [tex]1[/tex], поставяме нула. Тогава максималният сбор в един стълб се получава, че е [tex]550[/tex] - както се твърди в задачата.

Грешката на ptj e, от подчертаното от мен в цитата

Задача: Квадрат със страна 8 е разделен на 64 малки квадратчета със страна 1 и във всяко квадратче е написано по едно неотрицателно число, така че ако две квадратчета са симетрични относно някой от диагоналите на квадрата, числата, които са написани в тях, са равни. Дадено е, че сборът от числата във всички квадратчета е 2000, а сборът от числата, написани в квадратчетата по диагоналите на квадрата, е 200. Да се докаже, че сборът от числата, в кой да е стълб на таблицата не надминава 550.

[Гост]

Благодаря за решението!!!

[ptj]

Решението на Knowledge Greedy e грешно.
По-късно ще ви напиша обосновка защо приведения от мен пример е максимален.

[math10.com]

Решението на Knowledge Greedy e грешно.
По-късно ще ви напиша обосновка защо приведения от мен пример е максимален.

Решението на Knowledge Greedy не e грешно.Прочети си внимателно условието.Казано е че сборът от числата, написани в квадратчетата по диагоналите на квадрата, е 200.Това ще рече че сумата от 16-те квадратчета по диагоналите е 200, а не както в твоето решение 400.

[ptj]

О.К., но условието е написано лошо и е възможно двойно тълкуване. Трябваше да е "и в двата диагонала", а не "по диагоналите".
[tex]\begin{bmatrix}
47 & 220 & 1 & 1& 1 & 1 & 220 & 47 \\
220 & 1 & 1 & 1& 1 & 1 & 1 & 220 \\
1 & 1 & 1 & 1& 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1& 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1& 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1& 1 & 1 & 1 & 1 \\
220 & 1 & 1 & 1& 1 & 1 & 1 & 220 \\
47 & 220 & 1 & 1& 1 & 1 & 220 & 47
\end{bmatrix}[/tex]

4.47+8.220+52.1=2000
4.97+12.1=200
2.220+2.47+4.1=538

[Knowledge Greedy]

Да, на практика твоето е също решение, само че на друга задача.
Както казах и аз, в началото решавах нещо съвсем друго

[math10.com]

В условието също ясно е казано "неотрицателни числа".Защо запълвате таблицата с единици?
Според мен най-простото решение е следното:
Нека на най-горния ред числата са съответно [tex]a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8[/tex].От симетрията по условие получаваме , че същите тези числа подредени в същия ред са в най-дясната колона , както и същите тези числа подредени от зад на пред са в най-долния ред и най-лявата колона.От тук получаваме следното...
[tex]a_1+a_8+a_1+a_8\le 200 \Rightarrow a_1+a_8 \le 100[/tex] , както и събирайки числата по страните на квадрата [tex]2(a_1+a_8)+4(a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7)\le 2000\Rightarrow 2(a_1+a_8)+4(a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7)+ 2(a_1+a_8)\le 2000+200 \Rightarrow 4(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8)\le 2200\Rightarrow a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8\le 550[/tex]

[ptj]

Да, прав си. При произволни неотрицателни максимума е 550, но не се достига.

Написаните неравенства са строги.

[Knowledge Greedy]

Достига се - виж сметките на math10.com и моите. Ето и пример

Кога се достига равенство.PNG

[ptj]

При произволни положителни не се достига, докато при неотрицателни се достига.

[Knowledge Greedy]

Ето за неотрицателни

Кога се достига равенство.PNG (13.78 KiB) Прегледано 781 пъти