ЗАДАЧИ ЗА 6 КЛАС

[mejsey]

1. Ако увеличим числителя на една дроб с 4, получава се 1. Ако намалим знаменателя с 1, получава се 1/2 . Намерете дробта.

2. Велосипедист изминал две трети от разстоянието между два града за 3 часа. След това намалил скоростта си с 10 км/ч и изминал останалата част от пътя за 2 часа. Колко километра е разстоянието между градовете?

3. Произведението на няколко последователни естествени числа, първото от които е 1, завършва точно на 6 нули. Намерете всички възможности.

4. Ако задраскаме последната цифра на едно естествено число, то се намалява 13 пъти. Намерете всички такива числа.

5. Един работник може да свърши сам дадена работа за 3 часа, втори работник – за 4 часа, а трети – за 6 часа. За колко часа тримата заедно могат да свършат работата?

6. Сборът на няколко последователни естествени числа е равен на 90. Най-много колко са тези числа?

7. С кое цяло число трябва да умножим 9, за да се получи число, което е записано само с единици? Колко решения има задачата?

8. Числото 2016 е представено като сбор на квадрати на естествени числа. Най-малко колко са събираемите?

Някой може ли да ми помогне с тези задачи? Ще оставя сина ми да ги решава сам, но искам да имам предварително някакви решения, за да знам справил ли се или не. Благодаря !

[Добромир Глухаров]

7. Записаното само с единици число трябва да е кратно на девет, т. е. сумата от цифрите му да е кратна на девет (признак за делимост на девет). Или броят единици да бъде 9,18,27,36,... $111\ 111\ 111:9=12\ 345\ 679$, $111\ 111\ 111\ 111\ 111\ 111:9=12\ 345\ 679\ 012\ 345\ 679$ и т.н. Подходящите числа са безброй много.

[pal702004]

8. Тъй като $2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7$ се дели на 7 и не се дели на 49, то не може да бъде представено като сума на два квадрата:
Ако двете числа се делят на $7$, то квадратите им (и техният сбор) се делят на 49.
Ако едното се дели на 7, а другото - не, то сбора им не се дели на 7.
Ако нито едно не се дели на 7, то сбора им не се дели на 7. (Хм..модулна аритметика за 6-ти клас.)
$(7k\pm 1)^2=7n+1$
$(7k\pm 2)^2=7n+4$
$(7k\pm 3)^2=7n+2$
От числата $1,2,4$ не можем да изберем две със сума, кратна на 7.
И въобще, число, съдържащо просто от вида $4k+3$ в нечетна степен не може да бъде представено като сбор от два квадрата, но това между другото.
A число от вида $4^n(8k-1)$ не може да бъде представено като сбор на три квадрат, също между другото, просто не знам какво очакват от шестокласниците...
Да се върнем на въпроса.
Като сбор от три квадрата можем, напр. $2016=2^4\cdot 3^2\cdot 14$
Тоест, достатъчно е да представим $14$ като сбор от три квадрата $a^2+b^2+c^2$
Тогава $(12a)^2+(12b)^2+(12c)^2=2016$
$1^2+2^2+3^2=14$
$12^2+24^2+36^2=2016$

[Добромир Глухаров]

6.) Нека първото число е $a$, а числата са $n$ на брой. Сумата е $a+a+1+a+2+...+a+(n-1)=na+\frac{n(n-1)}{2}=90$. Колкото по-голямо е $a$, толкова по-малко е $n$, следователно за да бъде $n$ възможно най-голямо, трябва $a$ да бъде възможно най-малко. Но $a$ е естествено число, следователно опитваме последователно $a=1,2,3...$

$a.)\ a=1\Rightarrow n+\frac{n(n-1)}{2}=90\Rightarrow 2n+n(n-1)=180\Rightarrow n^2+n=180$

Може ли $n=12$? $12^2+12=144+12=156<180$

Може ли $n=13$? $13^2+13=169+13=182>180$

Следователно при $a=1$ $n$ не е цяло.

$b.)\ a=2\Rightarrow 2n+\frac{n(n-1)}{2}=90\Rightarrow 4n+n(n-1)=180\Rightarrow n^2+3n=180$

$12^2+3.12=144+36=180$

$\Rightarrow n=12$ е най-големият брой последователни естествени числа със сума $180$.

[Добромир Глухаров]

$5.)$ За 1 час първият работник извършва $\frac{1}{3}$ от работата, вторият - $\frac{1}{4}$ от нея, а третият - $\frac{1}{6}$. Тримата заедно извършват $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{4+3}{12}+\frac{1}{6}=\frac{7}{12}+\frac{2}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$ от работата. Значи за $\frac{4}{3}$ часа $=1\frac{1}{3}h=1h20'$ тримата заедно ще свършат цялата работа.

[Добромир Глухаров]

4. Нека последната цифра е $b(0\leq b\leq 9)$, а числото след задраскването й е $a$. Числото преди задраскването е $10a+b$ и е равно на $13a$

$10a+b=13a\Rightarrow 3a=b$. $b$ е кратно на $3$ и е между $0$ и $9$.

$b=0\Rightarrow a=0$ - числото $0$ не е решение, понеже след задраскване на нулата не остава никакво число.

$b=3\Rightarrow a=1$ -> $13$

$b=6\Rightarrow a=2$ -> $26$

$b=9\Rightarrow a=3$ -> $39$

Числата $13,26,39$ са всички решения.

[Добромир Глухаров]

3.) Да означим последното число с $n$. Произведението е $n!$. За да завършва на 6 нули, трябва да се дели на $10^6=2^6.5^6$, т.е. сред множителите трябва да има поне 6 петици. Сред множителите трябва да са $5,10=2.5,15=3.5,20=4.5,25=5.5$ - общо $6$ множителя $5$. $n$ трябва да е поне $25$. $25!$ се дели на $1\ 000\ 000$ и за всяко $n>25$ $n!$ също се дели на $10^6$.

[Добромир Глухаров]

$2.)\frac{\frac{2}{3}S}{3}-10=\frac{\frac{1}{3}S}{2}$

$\frac{2S}{9}-10=\frac{S}{6}$

$\frac{2S}{9}-\frac{S}{6}=10$

$\frac{2.2S}{18}-\frac{3S}{18}=10$

$4S-3S=180$

$S=180\ km$

[Добромир Глухаров]

1.) Дробта е $\frac{m-4}{m}$. Ако увеличим числителя с 4, получаваме $\frac{m}{m}=1$. Ако намалим знаменателя с 1 - $\frac{m-4}{m-1}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2(m-4)=1.(m-1)\Rightarrow 2m-8=m-1\Rightarrow 2m-m=8-1\Rightarrow m=7$

Дробта е $\frac{7-4}{7}=\frac{3}{7}$

[darinalazarova73]

Ще ползвам / за дробна черта.Означаваме дробта с х/у (1 задача)
х=?;у=?
(х+4)/у=1 от първото изречение
х/(у-1)=1/2 от второто изречение
Умножаваме на кръст,получаваме две нови ур-я.
х+4=у
2х=у-1 ;нека х=?
х=у-4 (1)
х=(у-1)/2
тогава у-4=(у-1)/2 ЗАЩОТО представляват едно и също нещо:Х
Вече имаме ур-е с едно неизвестно-у.Пак умнож. на кръст.
2(у-4)=у-1
2у-8=у-1
у=7 НО се връщаме към ур-е (1)
х=7-4 ;х=3
Дробта е 3/7 .
Пожелание правим проверка.
1 изречение 3/7 става 7/7,което е=1
2 изречение 3/7 става 3/6 (съкращаваме)=1/2
Проверката показа,че отг. 3/7 е верен.
Решението на Добромир е по-кратко и остроумно,но ако не се досетим,че дробта е (m-4)/m ,ползваме това по-дълго решение.
Зад.1 е решена по два начина.