Задачи за цилиндър, конус, сфера и кълбо

[Гост]

Задача 1:
Колко еднакви цилиндрични кутии без капак могат да се направят от 2,6 квадратни метра ламарина, ако радиусът им е 10 см, а височината - 15 см и при изработката се губят 20% от материала?
Задача 2:
Отношението на радиуса към височината на един цилиндър е 3/5 . Намерете отношението на лицето на повърхнината към лицето на околната повърхнина.
Задача 3:
Два цилиндъра имат равни лица на околните повърхнини. Радиусът на основата на първия е три пъти по-голям от радиуса на основата на втория. Намерете отношението на образувателните на цилиндрите.
Задача 4:
Докажете, че обемите на два конуса с:
а) еднакви основи се отнасят както височините им;
б) равни височини се отнасят както лицата на основите им;
Задача 5:
Конус има обем 48 см. Намерете обема на друг конус, радиусът на основата и височина на който са два пъти по-малки съответно от радиуса и височината на първия конус.
Благодаря предварително!

[KOPMOPAH]

Задача 1:
Колко еднакви цилиндрични кутии без капак могат да се направят от 2,6 квадратни метра ламарина, ако радиусът им е 10 см, а височината - 15 см и при изработката се губят 20% от материала?

След като при изработката се губят $20%$ от материала, значи лошо работят . От $2,6$ квадратни метра ламарина ще останат $2,6 \times 80%=2,6.0,8=2,08$ квадратни метра. Материалът, необходим за една кутия е $\pi.R^2$ (дъно)$+2\pi.R.H$(околна повърхнина) $\approx 3,14.0,10^2+3,14.0,10.0,15 =0,0785$ квадратни метра. От $2,08\,m^2$ ще се получат $2,08:0,0785=26.49$, което прави $24$ цели кутии.

Задача 2:
Отношението на радиуса към височината на един цилиндър е 3/5 . Намерете отношението на лицето на повърхнината към лицето на околната повърхнина.

Ако обозначим радуса с $3a$, а височината с $5a$, за повърхнината се получава $2.\pi (3a)^2+2.\pi .3a. 5a=48\pi.a^2$, а лицето на околната повърхнина е $2.\pi .3a. 5a=30\pi.a^2$. Отношението им се получава, като разделиш едното на другото.

Задача 3:
Два цилиндъра имат равни лица на околните повърхнини. Радиусът на основата на първия е три пъти по-голям от радиуса на основата на втория. Намерете отношението на образувателните на цилиндрите.

Обозначаваме радиуса на първия цилиндър с $R_1$, на втория с $R_2$ и образувателните съответно с $H_1$ и $H_2$. От равенството $2\pi.R_1.H_1=2\pi.R_1.H_1$ следва $\cancel{2}\cancel{\pi}.R_1.H_1=\cancel{2}\cancel{\pi}.R_1.H_1$, откъдето $\frac{R_1}{R_2}=\frac{H_2}{H_1}=\frac{R_1}{3R_1}=\frac{\cancel{R_1}}{3\cancel{R_1}}=\frac{1}{3}$, $H_1=3H_2$

Задача 4:
Докажете, че обемите на два конуса с:
а) еднакви основи се отнасят както височините им;
б) равни височини се отнасят както лицата на основите им;

а) Обемът на конус с основа $B$ и височина $H_1$ е $V_1=\frac{B.H_1}3$, а на конус с основа $B$ и височина $H_2$ е $V_2=\frac{B.H_2}3$. Съставяме отношението $\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{B.H_1}3}{\frac{B.H_2}3}=\cdots=\frac{H_1}{H_2}$
б) аналогично на а)

Задача 5:
Конус има обем 48 см. Намерете обема на друг конус, радиусът на основата и височина на който са два пъти по-малки съответно от радиуса и височината на първия конус.

Радиусът на първия конус е $2R$, а височината му - $2H$. Обемът му е равен на $\frac {\pi.(2R)^2.2H}{3}=\frac {8\pi.R^2.H}{3}$. Обемът на втория конус е $\frac {\pi.R^2.H}{3}$. Колко е съотношението на обемите? Аз получих $8:1$

[Гост]

Много Ви благодаря! Заслужавате титлата " Най - добрия математик " !

[KOPMOPAH]

Благодаря