Задачи за цилиндър, конус, сфера и кълбо

[Гост]

Задача 1:
Етикетът на консервна кутия с размери 24 см и 12 см , като по-малкото число съответства на височината на кутията. При залепването му се прихлупват ивици с ширина 2 см. Намерете повърхнината на кутията.
Задача 2:
Намерете лицето на повърхнината на конус, ако лицето на ок. пов-на е 21 кв.дм , а пълната повърхнина е 3 пъти по-голяма от лицето на основата.
Задача 3:
Околната повърхнина на цилиндър е 20 кв.см и е правоъгълник, една от страните е с 1 см по-дълга от другата. Намете пълната повърхнина с точност до десетите.
Задача 4:
Диаметърът и височината на цилиндър са равни. Лицето на ок. п-на и V се отразяват с едно и също число. Колко е радиусът и числото, с което се изразява обемът и S
Задача 5:
Колко е височината на цилиндър с B = 25 кв.см, ако се знае че, когато h се увеличи с 1 см, V става 125 куб.см

[KOPMOPAH]

Задача 1:
Етикетът на консервна кутия с размери 24 см и 12 см , като по-малкото число съответства на височината на кутията. При залепването му се прихлупват ивици с ширина 2 см. Намерете повърхнината на кутията.

След като етикетът е $24$ см и се застъпват $2$ см, остава околната повърхнина да е $(24-2) \times 12=264 \,cm^2$, а от формулата за околната повърхнина $S=2 \pi R .H$ можем да намерим радиуса $R=\frac{S}{2 \pi .H}=\frac{264}{2.12 \pi }=\frac{22}{\pi }$. Като знаем радиуса, намираме лицето на долната и горната основа по формулата $B_1=B_2=\pi.R^2=\pi\cdot\left(\frac{22}{\pi }\right)^2=\pi\cdot\frac{484}{\pi^2 }=\cancel{\pi}\cdot\frac{484}{\pi^{\cancel 2} }=\frac{484}{\pi}\,cm^2$, а като прибавим лицето на околната повърхнина (което е $264\,cm^2$) - намираме търсената (пълна) повърхнина $2\cdot\frac{484}{\pi}+264$ $cm^2$

Задача 2:
Намерете лицето на повърхнината на конус, ако лицето на ок. пов-на е 21 кв.дм , а пълната повърхнина е 3 пъти по-голяма от лицето на основата.

Идея за решаване: След като пълната повърхнина е $3$ пъти по-голяма от лицето на основата, то лицето на околната повърхнина колко пъти е по-голямо от лицето на основата? Правилно, $2$ пъти. Значи лицето на основата е ...? А оттам пълната повърхнина ...

Задача 3:
Околната повърхнина на цилиндър е 20 кв.см и е правоъгълник, една от страните е с 1 см по-дълга от другата. Намете пълната повърхнина с точност до десетите.

Първо трябва да се намерят двете страни на правоъгълника. По някакъв начин (не знам какво учите в училище) откриваш, че правоъгълникът е $4 \times 5$ см. И тук се натъкваш на уловката - тази задача има две възможни решения:
1) височина на цилиндъра $4$ и обиколка на основата $5$;
2) височина на цилиндъра $5$ и обиколка на основата $4$.
Пак ползваме формулата за околната повърхнина $S=2 \pi R .H$ и можем да намерим радиуса $R=\frac{S}{2 \pi .H}=\frac{20}{2.4 \pi }=\frac{2,5}{\pi }$ в пърия случай и $R=\frac{S}{2 \pi .H}=\frac{20}{2.5 \pi }=\frac{2}{\pi }$ във втория. Лицето на основата винаги е $\pi.R^2$, заместваш с двете намерени стойности за радиус и нататък трябва да се справиш

Задача 4:
Диаметърът и височината на цилиндър са равни. Лицето на ок. п-на и V се отразяват с едно и също число. Колко е радиусът и числото, с което се изразява обемът и S

След като диаметърът $d$ и височината $H$ на цилиндър са равни, то лицето на ок. п-на (вероятно "околна повърхнина" ) е $2\pi.d.H=2\pi.d^2$, а обемът $\pi \frac{d^2}4\cdot H=\pi \frac{d^3}4$.
След като лицето на околната повърхнина и обемът отразяват с едно и също число, ще вземем да приравним $2\pi.d^2$ и $\pi \frac{d^3}4$. От $2\pi.d^2=\pi \frac{d^3}4 \Rightarrow 2\cancel{\pi}.\cancel{d^2}=\cancel{\pi} \frac{d^\cancel{3}}4 \Rightarrow d=8$, нататък - самостоятелно

Задача 5:
Колко е височината на цилиндър с B = 25 кв.см, ако се знае че, когато h се увеличи с 1 см, V става 125 куб.см

Височината ще се получи, като извадиш $1$ см от височината на цилиндър с обем $125 \,cm^3$ и основа $25\,cm^2$, а тя е $H=\frac VH=\frac {125}{25}=5\,cm$