Цилиндър, конус и кълбо

[Гост]

Задача 1:
Конус и кълбо имат равни радиуси и равни повърхнини. Намерете обема на кълбото, ако образувателната на конуса е 6 см.
Задача 2:
Върху горната основа на цилиндър с радиус 3см е поставен конус със същия радиус и два пъти по-малка височина . Намерете обема на полученото тяло, ако повърхнината му е 72п кв.см , а сборът от образувателната на конуса и височината на цилиндъра е 13 см.
Задача 3:
Молив има диаметър 0,8 см и височина 18 см. След подостряне с острилка, височината останала 18 см, но в единият край той приел формата на конус с височина 1, 5 см. Колко е обемът на частта от молива , която е отнета от острилката? Колко % от обема на молива е отнета от острилката?

[mail_dinko]

Задача 1
Означаваме пълните повърхнини и радиусите на двете тела с едни и същи символи. Това са съответно [tex]S_1 ; r[/tex]
Повърхнината на кълбото се изразява така [tex]S_1 = 4 \pi r^2[/tex]
Повърхнината на конусът е сбор от околната (т.нар. конична) повърхнина S и повърхнината на основата В
[tex]S_1 = S + B = \pi r l + \pi r^2 = \pi r (l+r)[/tex]
Приравняваме двата израза, т.к. по условие са равни
[tex]4 \pi r^2 = \pi r (l+r)[/tex]
Съкращаваме на [tex]\pi r[/tex]
[tex]4 r= l+r \Leftrightarrow 3r= l \Leftrightarrow r = \frac {l}{3}[/tex]
От условието образувателната е 6 см, следователно радиусът е r=2
Обемът намираме по формулата [tex]V_{кълбо} = \frac {4}{3} \pi r ^3 = \frac {4}{3} \pi .8 = \frac {32}{3} \pi cm^3[/tex]

Задача 2
Радиус [tex]r=3[/tex] - и за двете тела еднакъв
Височина на цилиндъра [tex]h[/tex]
Височина на конуса [tex]\frac {h}{2}[/tex]
Образувателна на конуса [tex]l[/tex]
По условие [tex]l+h = 13[/tex]
Обща повърхнина на тялото [tex]S_{total} =72 \pi[/tex]
Тоталната повърхнина на тялото представлява сбор от околната повърхнина на конуса [tex]S_{konus}[/tex] , околната повърхнина на цилиндъра [tex]S _{cyl}[/tex] и основата на цилиндъра [tex]B[/tex] .
[tex]72 \pi = \pi r l + 2 \pi r h + \pi r^2[/tex]
Като съкратим на П получаваме
[tex]72 = r l + 2 r h + r^2[/tex]
По условие радиусът е 3 см.
Получаваме
[tex]72 = 3l + 6h + 9 \Leftrightarrow 63=3l+6h |:3 \Leftrightarrow 21 = l + 2h[/tex]
\begin{array}{|l} 21 = l + 2h \\ 13= l+h \end{array}
Изваждаме почленно и получаваме [tex]h=8[/tex]
Обемът на тялото [tex]V_{total}[/tex] се намира като сбор от обемите на цилиндъра [tex]V_{cyl}[/tex] и обемът на конуса [tex]V_{cone}[/tex]
[tex]V_{total} = V_{cyl} + V_{cone}[/tex]
[tex]V_{total}= \ pi r ^2 h + \frac {1}{3} . \pi r^2 \frac {h}{2} = \pi r^2 h (1+ \frac {1}{6})[/tex]
[tex]V_{total} = \frac {7}{6} . \pi . 9 . 8 = 84 \pi cm^3[/tex]

Задача 3
Обемът на молива е обемът на цилиндър с височина 18 см и радиус 0,4 =0,8:2 см
[tex]V_0 = \pi r^2 h = \pi .0,4^2 . 18 cm^3[/tex]
Обемът на конуса (връх на молива) с височина 1,5 см е [tex]V_1 = \pi r ^2 h . \frac {1}{3} = \pi . 0,4^2 . 0,5[/tex]
Обемът на цилиндричната част на вече подострения молив с височина 16,5 см е [tex]V_2 = \pi r^2 h = \pi . 0,4 ^2 . 16,5[/tex]
Обемът на изрезките се намира като от изходния обем на молива извадим двата обема (на конусът-връх и цилиндричната част):
[tex]V_3 = V_ 0 - V_1 - V_2 = \pi 0,4^2 .18 - \pi 0,4^2 .16,5 - \pi 0,4^2 . 0,5 = \pi . 0,4^2 (18-16,5-0,5) = 0,16 \pi cm^3[/tex]
Процентът на загубата намираме като отношение
[tex]\frac {V_3}{V_0} .100% = \frac { \cancel {0,16 \pi cm^3} }{18 \cancel {. 0,16 \pi cm^3}} . 100% = 5,(5) % \approx 6%[/tex]

[Гост]

Много Ви благодаря! Знакът [tex]\Leftrightarrow[/tex] означава точно тогава или когато , нали? Поне така съм запозната.. Надявам се да получа отговор!

[Davids]

Много Ви благодаря! Знакът [tex]\Leftrightarrow[/tex] означава точно тогава или когато , нали? Поне така съм запозната.. Надявам се да получа отговор!

Означава "еквивалентно" - от едното следва другото и от другото следва първото.

[Гост]

Благодаря Ви за информацията!