Две задачи за пропорции - ЗИП Математика

[Гост]

1.Намерете естествените числа x,y,z, ако x+y, y+z и z+x са правопорционални на 6,4, и 3 и ( xy-2yz+3xz):(y-x-z)=36

2.Числата z,y ,z са обратнопропорционални на 0,5; 0,(3) и 0,1(6). Докажете,че числото (6x+7y+8z):(x+y+2/3z) е естествено.

Благодаря!

[Добромир Глухаров]

$2.)\ x=\frac{t}{0,5}=2t;\ y=\frac{t}{0,(3)}=3t;\ z=\frac{t}{0,1(6)}=6t$

$(6x+7y+8z):(x+y+2/3z)=(12t+21t+48t):(2t+3t+4t)=(81t):(9t)=9$ - естествено число.

[Knowledge Greedy]

1.)
[tex]x+y, y+z[/tex] и [tex]z+x[/tex] са правопорционални на [tex]6,4[/tex], и [tex]3[/tex]
означава, че съществува такова число k, за което
[tex]\begin{array}{|l} x + y = 6k \\ y+z=4k \\ z+x=3k \end{array}[/tex]
Оттук
[tex]\begin{array}{|l} x = \frac{5k}{2} \\ y=\frac{7k}{2} \\ z=\frac{k}{2} \end{array}[/tex]
Заместваме в уравнението
[tex]( xy-2yz+3xz):(y-x-z)=36[/tex]
и получаваме
[tex]\left ( \frac{35k^2}{4}-\frac{14k^2}{4}+\frac{15k^2}{4}\right ):\left ( \frac{k}{2} \right )=36[/tex]
намираме [tex]k=2[/tex]
и се връщаме в изразяването на [tex]x,y[/tex] и [tex]z[/tex] в системата по-горе.
[tex]\begin{array}{|l} x = 5 \\ y=7 \\ z=1 \end{array}[/tex]

[Гост]

Благодаря!