Задача

[Kamito]

Пресметнете:
[tex]\frac{\frac{1}{0,(21) }+\frac{1}{0,(42) }+\frac{1}{0,(84)} }{\frac{1}{0,2(1) }+\frac{1}{0,4(2)}+\frac{1}{0,8(4) } } . \frac{1+2+3+.....+20}{1+2+3+.....+18}[/tex]

[martin123456]

[tex]4x=\frac{1}{0,(21) }[/tex]=>[tex]\frac{1}{0,(42) }=2x[/tex], [tex]\frac{1}{0,(84)}=x[/tex]
[tex]4y=\frac{1}{0,2(1) }[/tex]=>[tex]\frac{1}{0,4(2)}=2y[/tex], [tex]\frac{1}{0,8(4) }=y[/tex]
=> [tex]\frac{\frac{1}{0,(21) }+\frac{1}{0,(42) }+\frac{1}{0,(84)} }{\frac{1}{0,2(1) }+\frac{1}{0,4(2)}+\frac{1}{0,8(4) } }=\frac{x}{y}[/tex]
[tex]1+2+\cdots+20=\frac{20.21}{2}[/tex], [tex]1+2+\cdots+18=\frac{18.19}{2}[/tex]=>[tex]\frac{1+2+3+.....+20}{1+2+3+.....+18}=\frac{20.21}{18.19}[/tex]
сега да сметнем [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex]
[tex]z=0,(21)=0,2121\ldots21\ldots[/tex]=>[tex]100z=21,21\ldots21\ldots=21+z[/tex]=>[tex]z=\frac{21}{99}[/tex]
[tex]t=0,2(1)=0,2111\ldots111\ldots=0,2+0,011\ldots11\ldots[/tex]=>[tex]t=0,011\ldots11\ldots[/tex]=>[tex]10t=2+0,11\ldots[/tex]. от друга страна [tex]s=0,(1)[/tex], [tex]10s=1,11\ldots=1+s[/tex]=>[tex]s=\frac{1}{9}[/tex]=>[tex]10t=2+\frac{1}{9}[/tex]=>[tex]10t=\frac{19}{9}[/tex]=>[tex]t=\frac{19}{90}[/tex]