Геометрична задача

[Гост]

Здравейте! Опитах се да помогна на сина ми с една задача, но нещо не ми се получава. Ако имате идея, моля помогнете. Опитах и с теорема на Менелай (не, че са я учили хаха, но за себе си поне да я реша) и поне на мен не ми се получава.

[KOPMOPAH]

Задача 6 клас 15-20-25.png (14.4 KiB) Прегледано 479 пъти

Разсъждаваме така:$$S_{ABF}:S_{BDF}=20:25\Rightarrow \left(S_{AFE}+S_1\right):S_2=20:25~~~~~~(1)$$
Това е така, защото височините на $\triangle ABF$ и $\triangle BDF$ са равни, ако приемем за основи $AF$ и $FD$. Височините на $\triangle AFC$ и $\triangle CDF$ също са равни и така получаваме равенство $(1)$. По същата логика $$S_{ABF}:S_{AFE}=15:20\Rightarrow S_1:\left(S_{BDF}+S_2\right)=15:20~~~~~~(2)$$
Като заместим известните лица $15$, $20$ и $25$ в $(1)$ и $(2)$, получаваме една система от две уравнения с две неизвестни, която дава $S_1$ и $S_2$. Дано е по силите на един шестокласник да я реши

[Гост]

Аз получава, за лицето на СЕF=525 и за лицето на СFD=675, но не ми се струва нормално (това с отношенията на лицата).

[Гост]

Имам предвид, че и аз първоначално това направих, но като си видях отговорите реших, че не са ок и затова започнах с Теорема на Менелай, където изобщо нищо смислено не получих (т.е. получих квадратно уравнение, което няма смисъл да обяснявам на детето).

[KOPMOPAH]

Аз получава, за лицето на СЕF=525 и за лицето на СFD=675, но не ми се струва нормално (това с отношенията на лицата).

И аз получих за лицата същите стойности.
А какви са отговорите в сборника и най-вече как трябва да я реши едно човече в 6 клас? И могат ли да се решават системи в 6 клас?

[S.B.]

А какви са отговорите в сборника и най-вече как трябва да я реши едно човече в 6 клас? И могат ли да се решават системи в 6 клас?

Без заглавие - 2021-10-04T225505.979.png (288.39 KiB) Прегледано 448 пъти

Не, в 6 клас не се изучават системи,но се изучават пропорции.
Ето един поглед върху задачата със знанията на шестокласниците;

[tex]\triangle AEF[/tex] и [tex]\triangle AFB[/tex]имат обща височина [tex]\Rightarrow \frac{ S_{AEF } }{ S_{AFB } } = \frac{EF}{FB} \Rightarrow \frac{15}{20}= \frac{EF}{FB} \Leftrightarrow EF = 3,FB = 4[/tex]

[tex]\triangle AFB[/tex] и [tex]\triangle BDF[/tex] имат обща височина [tex]\Rightarrow \frac{ S_{AFB } }{ S_{BDF } } = \frac{AF}{FD} \Leftrightarrow \frac{20}{25} = \frac{AF}{FD} \Leftrightarrow AF = 4 , FD = 5[/tex]

[tex]\triangle AFC[/tex] и [tex]\triangle FDC[/tex] имат обща височина [tex]\Rightarrow \frac{ S_{AFC } }{ S_{FDC } } = \frac{AF}{FD} \Leftrightarrow \frac{ S_{1 } + 15 }{ S_{2 } } = \frac{4}{5 } \Rightarrow S_{1 } + 15 = \frac{4}{5} S_{2 } \Rightarrow[/tex]

$$S_{1 } = \frac{4}{5} S_{2 } - 15$$

[tex]\triangle EFC[/tex] и [tex]\triangle BFC[/tex] имат обща височина [tex]\Rightarrow \frac{ S_{EFC } }{ S_{BFC } } = \frac{EF}{FB} \Leftrightarrow \frac{ S_{1 } }{ S_{2 } + 25 } = \frac{3}{4} \Leftrightarrow S_{1 } = \frac{3}{4} S_{2 } + \frac{3}{4}.25 \Rightarrow[/tex]
$$ S _{1 } = \frac{3}{4} S_{2 } + \frac{75}{4} $$
[tex]\frac{4}{5} S_{2 } - 15 = \frac{3}{4} S_{2 } + \frac{75}{4}[/tex] (В 6 клас все още не е дефинирано "уравнение!"Намирате се в дебрите на аритметиката!)
[tex]\frac{4}{5} S_{2 }[/tex] е умаляемо,а $15$ е умалител [tex]\Rightarrow \frac{4}{5} S_{2 } = (\frac{3}{4} S_{2 } + \frac{75}{4}) + 15 \Leftrightarrow \frac{4}{5} S_{2 } = \frac{3}{4} S_{2 } + \frac{135}{4}[/tex]
Сега [tex]\frac{4}{5} S_{2 }[/tex] се явява сума и [tex]\frac{135}{4} = \frac{4}{5} S_{2 } - \frac{3}{4} S_{2 }[/tex]

Децата знаят дистрибутивния закон като "разпределително свойство" И тъй като все още не са учили сбор и разлика на едночлени постъпвате така:
[tex]\frac{4}{5 } S_{2 } - \frac{3}{4} S_{2 } = \frac{135}{4} \Leftrightarrow S_{2 }( \frac{4}{5} - \frac{3}{4}) = \frac{135}{4} \Leftrightarrow S_{2 }. \frac{1}{20} = \frac{135}{4}[/tex]

Сега [tex]S_{2 }[/tex] се явява неизвестен множител [tex]\Rightarrow S_{2 } = \frac{135}{4} : \frac{1}{20} \Rightarrow[/tex]
$$S_{2 } = 675$$
[tex]S_{1 } = \frac{4}{5} S_{2 } - 15 \Leftrightarrow S_{1 } = \frac{4}{5}.675 - 15 \Rightarrow[/tex]
$$S_{1 } = 525$$

$$S_{ABC } = 675 + 525 + 15 + 20 + 25 = 1260$$

[Гост]

Благодаря ви, математици, за помощта и подробните решения! За съжаление нямам отговор и евентуално, ако получа обратна връзка от учителя ще допълня към коментарите