Пропорции и задачи за геометрични фигури и тела

[RedJeans]

Сега ще съм 7 клас и започнах да решавам задачи и се оказа,че не мога да решавам някой и се надявам да ми ги обясните =)
1.Иван и Петър си купили бонбони,чийто брой бил по-голям от 50,но по-малък от 100.Иван предложил да разделят бонбоните в отношение 5:9,но Петър не се съгласил с това и разделил бонбоните в отношение 10:11.Колко е броят на бонбоните,закупени от Иван и Петър?
2.Количествата нафта в три варела се отнасяли,както 8:5:7.След известно преливане на нафта от някои от варелите в другите,се оказало,че коичествата в тях се отнасят вече,както 26:25:21.В един от варелите нафтата се увеличила с 14 литра.По колко литра нафта е имало първоначално във всеки от варелите?
3.Многостен е получен,като куб с ръб 3 см е изрязана пирамида с основа,която съвпада с една от стените на куба, и връх,лежащ на стената на куба,която е срещуположна на стената,основа на пирамидата.Пресметнете обема на полученият многостен.
4.Дървен куб е потопен в зелена боя и след изсъхването й е разрязан на 27 еднакви кубчета.Намерете отношението на броя на получените кубчета,които имат точно 2 оцветени в зелено стени,към броя на тези,който имат три оцветени стени.

[Martin Nikovski]

1. При разделянето на Иван бонбоните са [tex]5x+9x=14x[/tex], при разделянето на Петър - [tex]10y+11y=21y[/tex]. Значи търсим число, което се дели на [tex]14[/tex] и [tex]21[/tex] и е между [tex]50[/tex] и [tex]100[/tex]. Единствено такова число е [tex]84[/tex].

[RedJeans]

1. При разделянето на Иван бонбоните са [tex]5x+9x=14x[/tex], при разделянето на Петър - [tex]10y+11y=21y[/tex]. Значи търсим число, което се дели на [tex]14[/tex] и [tex]21[/tex] и е между [tex]50[/tex] и [tex]100[/tex]. Единствено такова число е [tex]84[/tex].

Толкова е било лесно.Благодаря =)

[Martin Nikovski]

2. В началото нефтът е общо [tex]8x+5x+7x=20x[/tex], а след това - [tex]26y+25y+21y=72y[/tex]. Тъй като преливаме само от един варел в друг, общото количество нефт не се променя. Иначе казано: [tex]20x=72y/:4[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]5x=18y[/tex].
Трябва да определим кой е варелът, в който нафтата се е увеличила с [tex]14l[/tex].

- За първия варел: В началото в него има [tex]\frac{8x}{20x }=\frac{8}{20 }=\frac{2}{5 }[/tex] от общото количество нефт. След това съдържанието му става [tex]\frac{26y}{72y } =\frac{26}{72 } =\frac{13}{36 }[/tex] от всичкия нефт.
Сравняваме двете числа: [tex]\frac{2}{5 }[/tex] и [tex]\frac{13}{ 36}[/tex].
[tex]\frac{2}{5 }=\frac{72}{180 }[/tex], а [tex]\frac{13}{36 }= \frac{65}{180 }[/tex].
[tex]\frac{72}{180 }>\frac{65}{180 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{2}{5 }>\frac{13}{36 }[/tex].
Следователно нафтата в първия варел е намаляла, т.е. той не е търсеният.

- За втория варел: В началото в него има [tex]\frac{5x}{20x }=\frac{5}{20 }=\frac{1}{4 }[/tex] от общото количество нефт. След това съдържанието му става [tex]\frac{25y}{72y } =\frac{25}{72 }[/tex] от всичкия нефт.
Сравняваме двете числа: [tex]\frac{1}{4 }[/tex] и [tex]\frac{25}{ 72}[/tex].
[tex]\frac{1}{4 }=\frac{18}{72 }[/tex].
[tex]\frac{18}{72 }<\frac{25}{72 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{1}{4 }<\frac{25}{72 }[/tex].
Следователно нафтата във втория варел се е увеличила, т.е. той удовлетворява условието на задачата.

- За третия варел: В началото в него има [tex]\frac{7x}{20x }=\frac{7}{20 }[/tex] от общото количество нефт. След това съдържанието му става [tex]\frac{21y}{72y } =\frac{21}{72 } =\frac{7}{24 }[/tex] от всичкия нефт.
Сравняваме двете числа: [tex]\frac{7}{20 }[/tex] и [tex]\frac{7}{ 24}[/tex].
[tex]20<24[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{7}{20 }>\frac{7}{24 }[/tex] (дроби с равни числители).
Следователно нафтата в третия варел е намаляла, т.е. той не е търсеният.

Получихме, че варелът, в който нафтата се е увеличила с [tex]14l[/tex], е вторият. Съставяме уравнение за него:
[tex]5x+14=25y[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]y=\frac{5x+14}{25 }[/tex]
Връщаме се в уравнението за нефта: [tex]5x=18y[/tex] и заместваме [tex]y[/tex]:
[tex]5x=18.\frac{5x+14}{25 } /.25[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]125x=90x+252[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x=\frac{252}{35 }=7,2l[/tex]
Първоначално в първия варел има [tex]8x=8.7,2=57,6l[/tex] нефт, във втория - [tex]5x=5.7,2=36l[/tex] нефт, а в третия - [tex]7.7,2=50,4l[/tex] нефт.
П.П. Ако има въпроси, питай!...

[RedJeans]

[tex]5x=18.\frac{5x+14}{25 } /.25[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]125x=90x+252[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x=\frac{252}{35 }=7,2l[/tex]

Как става това 252 и после 252/35

[Martin Nikovski]

[tex]5x=18.\frac{5x+14}{25 }[/tex]
Умножаваме на кръст: [tex]5x.25=18.\left(5x+14\right)[/tex]
[tex]125x=18.5x+18.14[/tex]
[tex]125x=90x+252[/tex]
[tex]35x=252[/tex]
[tex]x=\frac{252}{35 }=7,2[/tex].

[ptj]

4.Дървен куб е потопен в зелена боя и след изсъхването й е разрязан на 27 еднакви кубчета.Намерете отношението на броя на получените кубчета,които имат точно 2 оцветени в зелено стени,към броя на тези,който имат три оцветени стени. [/b]

Ето няколко начина:
1.) Взимаш един куб на Рубик за по-добра визиуализация и броиш.
а.) Има две 4-ки ъглови кубчета ( по 4 от горната и долната основи), т.е. общо 8 бр. (с 3 зелени стени)
б.) На дланата и горната основи има по 4 странични кубчета (с по 2 зелени страни) и още 4 през линията, минаваща през средата на куба (успоредна на споменатите основи).

2.) Стандартен начин
а.) куба има 8 ъгъла , затова кубчетата 3 зелени стени ще са точно 8.
б.) При разрязването ще има едно вътрешно кубче, нямащо зелена стена. Има и още 6 кубчета само с по една зелена стена ( в центровете на всяка стена за големия куб).
в.) Всики останали кубчета са с по две зелени стени, техния брой е 27 - (8+1+6)=12

3.) Друг начин:
а.) като 2.а.)
б.) всички кубчета с по две зелени стени са от средата на някой ръб. Общия брой на ръбовете е 12, сл. и кубчетата с по две зелени стени са точно 12.

П.П. Има и други, но тези би трябвало да са достатъчни да придобиеш представа как да мислиш при подобни задачи.

[Martin Nikovski]

3.

Чертеж.

Drawing.jpg (19.35 KiB) Прегледано 1926 пъти

Търсеният обем е разликата на обема на куба и обема на пирамидата.
Обемът на куба е: [tex]V_1=a^3=3^3=27cm^3[/tex]
Обемът на пирамидата е: [tex]V_2=\frac{B.h}{3 }[/tex], където [tex]B=a^2=9cm^2[/tex] (лицето на стената на куба, която е основа на пирамидата), а [tex]h=a=3cm[/tex] (височината на пирамидата).
Получаваме [tex]V_2=\frac{B.h}{3 }=\frac{9.3}{3 } =9cm^3[/tex]
Търсеният обем е: [tex]V_1-V_2=27-9=18cm^3[/tex].

[RedJeans]

^Толкова лесно го правиш решението =).Мерси много,много,много .

[RedJeans]

Ето още 1 задачка,която не мога да реша.
Точката С е от отсечката АВ и АС : СВ = 2:3.Точките М и N са среди съответно на отсечките АВ и ВС и АВ = 20см.Намерете дължината на отсечката М и N.

[ptj]

[tex]BM=\frac{1}{2 }AB=\frac{1}{2 }20=10[/tex]

[tex]BC=\frac{3}{2+3 } AB=\frac{3}{5 }20=12[/tex]

[tex]CN=\frac{1}{2 }BC=\frac{1}{2 }12=6[/tex]

[tex]MN=BM-CN= 10-6=4[/tex]