Решение нa задачата

[Гост]

IMG-2a74fd24e3eff01bd9202dd387a928a3-V.jpg (60.47 KiB) Прегледано 1880 пъти

[Davids]

Понеже не мога в момента да драскам по картинката, ще въведем относителна координатна система, за да се разбираме с писаници: представи си, че най-долното ляво връхче на фигурата е началото на декартовата ни система, т.е. (0, 0). Та оттам на това равнище боравим с хоризонталната линийка $y = 0$ (мисли си най-долното хоризонтално равнище, успоредната права надясно).

Сега, за да отговорим на въпроса от задачата, ще разбием цялата ни фигура на три основни сектора:

1) От $y = 0$ до $y = 2$ (т.е. най-долните два реда от квадратчета). Лицето, което имаме там, представлява лицето на правоъгълник с дължина 8 и височина 2, от което обаче са извадени 4 полукръгчета с радиус 1 (ако допуснем по картинката, че са кръгчета - с това допускане боравим до края, пък и то е смисленото). Лицето на 4 полукръгчета с равен радиус обаче е същото като лицето на 2 пълни кръгчета със същия радиус. Значи за лицето на този регион получаваме:

$S_1 = \underbrace{8\times 2}_{\text{правоъгълник}} - 2\times \underbrace{\pi \times 1^2}_{\text{кръгче}} = 16 - 2\pi$

2) Сега аналогично ще разгледаме втория смислен регион, а именно от $y = 2$ до $y = 6$, т.е. следващите (нагоре) четири реда от фигурата. Имаме подобен сценарий: лицето, което търсим, е лицето на правоъгълник с дължина 8 и височина 4, от който обаче сме извадили две полукръгчета с радиус 2. Отново, две полукръгчета правят едно цяло кръгче с радиус 2, така че:

$S_2 = \underbrace{8\times 4}_{\text{правоъгълник}} - \underbrace{\pi\times 2^2}_{\text{кръгче}} = 32 - 4\pi$

3) Третия участик е от $y = 6$ до $y = 10$, т.е. докрая. Гледаме последните 4 реда от фигурата. Този участък сякаш е най-лесен - това е просто половин кръгче с радиус 4. Значи лицето му е:

$S_3 = \frac{1}{2}\times \underbrace{\pi\times 4^2}_{\text{кръгче}} = 8\pi$

И сега за финал, събираме лицата от трите участъка на фигурата, за да получим цялото й лице:

$S = S_1 + S_2 + S_3 = 16 - 2\pi + 32 - 4\pi + 8\pi = 48 + 2\pi$, т.е. отговор A).