Лице на повърхнина на правилна пирамида

[Гост]

Лицето на околната повърхнина на правилна четириъгълна пирамида е 120dm^2 и апотемата й е 6 dm.
Намерете лицето на пълната повърхнина на пирамидата.
Благодаря!

[ammornil]

Лицето на околната повърхнина на правилна четириъгълна пирамида е 120dm^2 и апотемата й е 6 dm.
Намерете лицето на пълната повърхнина на пирамидата.
Благодаря!

За правилна четириъгълна пирамида са винаги изпълнени следните условия (именувани по елементите на приложения чертеж):
[tex]ABCD \rightarrow \hspace{2em} \begin{cases} AB=BC=CD=AD \\ \angle{DAB}=\angle{ABC}=\angle{BCD}=\angle{CDA}=90^{\circ} \\ AC=BD=AB\cdot{\sqrt{2}} \\ AC \bot BD \\ AC \cap BD = O \rightarrow AO=BO=CO=DO=\frac{\normalsize{AB\cdot{\sqrt{2}}}}{\normalsize{2}} \rightarrow \text{ радиуси на описаната около основата окръжност} \\ \angle{AOB}=\angle{BOC}=\angle{COD}=\angle{AOD}=90^{\circ} \\ AK=BK=BN=CN=CP=DP=DQ=AQ=\frac{AB}{2} \\ OK=ON=OP=PQ=\frac{\normalsize{AB}}{\normalsize{2}} \text{ радиуси на вписаната в основата окръжност} \\ OK \bot AB, ON \bot BC, OP \bot CD, OQ \bot AD, PK \| AD, PK \| BC, NQ \| AB, NQ \| CD \\ PK=NQ=AB \end{cases}[/tex]

[tex]ABCDM \rightarrow \begin{cases} AM=BM=CM=DM \\ MK = MN = MP = MQ \text{ апотеми (височини на околни стени)} \\ MO \bot p(ABCD) \Rightarrow MO \bot AC, MO \bot BD\\ \angle{OAM}=\angle{OBM}=\angle{OCM}=\angle{ODM} \\ \angle{OKM}=\angle{ONM}=\angle{OPM}=\angle{OQM} \\ \triangle{ABM} \cong \triangle{BCM} \cong \triangle{CDM} \cong \triangle{DAM} \\ \triangle{AOM} \cong \triangle{BOM} \cong \triangle{COM} \cong \triangle{DOM} \\ \triangle{KOM} \cong \triangle{NOM} \cong \triangle{POM} \cong \triangle{QOM} \end{cases}[/tex]

За правилна четириъгълна пирамида са общоприети следните условни означения:
[tex]AB=BC=CD=AD=a; \hspace{2em} AM=BM=CM=DM=l ; \hspace{2em} MK=MN=MP=MQ=k ; \hspace{2em} MO=H; \hspace{2em} AC=BD=d[/tex]

Скрит текст: покажи

За правилна четириъгълна пирамида са винаги изпълнени следните равенства:
[tex]d^{2}=2\cdot{a^{2}} ; \hspace{2em} l^{2}=H^{2}+\frac{a^{2}}{2} ; \hspace{2em} k^{2} = H^{2} + \frac{a^{2}}{4} ; \hspace{2em} l^{2} = k^{2} + \frac{a^{2}}{4}[/tex]

[tex]B=S_{ABCD}=a^{2}=\frac{d^{2}}{2} \text{ лице на основата}; \hspace{2em} S_{ABCDM}=2\cdot{a}\cdot{k} \text{ лице на околна повърхнина}[/tex]

[tex]S_{1_{ABCDM}}=B+S \text{ лице на пълна повърхнина}; \hspace{2em} V_{ABCDM}=\frac{1}{3}\cdot{B}\cdot{H}=\frac{a^{2}\cdot{H}}{3} \text{ обем на пирамидата}[/tex]

$$ S_{ABCDM}=120[dm^{2}], k=6[dm]\\S_{ABCDM}=2\cdot{a}\cdot{k} \Rightarrow a=\frac{S_{ABCDM}}{2\cdot{k}}=\cdots\\B_{ABCDM}=a\cdot{a}=\cdots\\S_{1_{ABCDM}}=B_{ABCDM} + S_{ABCDM}=\cdots$$
[tex][/tex]