Обем на пирамида

[Гост]

Лицето на околната повърхнина на правилна четириъгълна пирамида е 6 пъти по-голямо от обема й, а височината на пирамидата е два пъти по-малка от апотемата на пирамидата.
Намерете дължината на основния ръб на пирамидата.
Благодаря!!!

[ammornil]

Лицето на околната повърхнина на правилна четириъгълна пирамида е 6 пъти по-голямо от обема й, а височината на пирамидата е два пъти по-малка от апотемата на пирамидата.
Намерете дължината на основния ръб на пирамидата.
Благодаря!!!

[tex][/tex]

Screenshot 2023-11-24 085806.png (41.28 KiB) Прегледано 2446 пъти

[tex][/tex]
За правилна четириъгълна пирамида са винаги изпълнени следните условия (именувани по елементите на приложения чертеж):
[tex]ABCD \rightarrow \hspace{2em} \begin{cases} AB=BC=CD=AD \\ \angle{DAB}=\angle{ABC}=\angle{BCD}=\angle{CDA}=90^{\circ} \\ AC=BD=AB\cdot{\sqrt{2}} \\ AC \bot BD \\ AC \cap BD = O \rightarrow AO=BO=CO=DO=\frac{\normalsize{AB\cdot{\sqrt{2}}}}{\normalsize{2}} \rightarrow \text{ радиуси на описаната около основата окръжност} \\ \angle{AOB}=\angle{BOC}=\angle{COD}=\angle{AOD}=90^{\circ} \\ AK=BK=BN=CN=CP=DP=DQ=AQ=\frac{AB}{2} \\ OK=ON=OP=PQ=\frac{\normalsize{AB}}{\normalsize{2}} \text{ радиуси на вписаната в основата окръжност} \\ OK \bot AB, ON \bot BC, OP \bot CD, OQ \bot AD, PK \| AD, PK \| BC, NQ \| AB, NQ \| CD \\ PK=NQ=AB \end{cases}[/tex]

[tex]ABCDM \rightarrow \begin{cases} AM=BM=CM=DM \\ MK = MN = MP = MQ \text{ апотеми (височини на околни стени)} \\ MO \bot p(ABCD) \Rightarrow MO \bot AC, MO \bot BD\\ \angle{OAM}=\angle{OBM}=\angle{OCM}=\angle{ODM} \\ \angle{OKM}=\angle{ONM}=\angle{OPM}=\angle{OQM} \\ \triangle{ABM} \cong \triangle{BCM} \cong \triangle{CDM} \cong \triangle{DAM} \\ \triangle{AOM} \cong \triangle{BOM} \cong \triangle{COM} \cong \triangle{DOM} \\ \triangle{KOM} \cong \triangle{NOM} \cong \triangle{POM} \cong \triangle{QOM} \end{cases}[/tex]

За правилна четириъгълна пирамида са общоприети следните условни означения:
[tex]AB=BC=CD=AD=a; \hspace{2em} AM=BM=CM=DM=l ; \hspace{2em} MK=MN=MP=MQ=k ; \hspace{2em} MO=H; \hspace{2em} AC=BD=d[/tex]

[tex]B=S_{ABCD}=a^{2}=\frac{d^{2}}{2} \text{ лице на основата}; \hspace{2em} S_{ABCDM}=2\cdot{a}\cdot{k} \text{ лице на околна повърхнина}[/tex]

[tex]S_{1_{ABCDM}}=B+S \text{ лице на пълна повърхнина}; \hspace{2em} V_{ABCDM}=\frac{1}{3}\cdot{B}\cdot{H}=\frac{a^{2}\cdot{H}}{3} \text{ обем на пирамидата}[/tex]

РЕШЕНИЕ:
[tex]k=2\cdot{H} \Rightarrow S=2\cdot{a}\cdot{k}=2\cdot{a}\cdot{2\cdot{H}}=4\cdot{a}\cdot{H} \\ V=\frac{a\cdot{a}\cdot{H}}{3} \\ S=6\cdot{V} \Rightarrow 4\cdot{a}\cdot{H} = 6\cdot{\frac{a\cdot{a}\cdot{H}}{3}} \Leftrightarrow \overset{2}{\cancel{4}}\cdot{\cancel{\red{a}}}\cdot{\cancel{\blue{H}}}=\cancel{2}\cdot{\cancel{\red{a}}}\cdot{a}\cdot{\cancel{\blue{H}}} \Leftrightarrow a=2[/tex]

Забелжка! Горното равенство между обем и околна повърхнина е само числово вярно. Смисълът е, че числото което показва големината на околната повърхнина е шест пъти по-голямо число от числото, което показва големината на обема. Принципно, обем и повърхнина не могат да се сравняват директно, тъй като не са в еднаква размерсност. Равенствата след реда РЕШЕНИЕ: по-горе не са формули, които могат да се използват на готово в други задачи!

[Гост]

Благодаря много! Единствено не мога да разбера как точно се преобразува формулата за лице на околна повърхнина от S= (n.b.k) / 2, защото е правилна четириъгълна ли става S = 2.a.k. n - е броя страни, b - дължината на основния ръб, к - апотемата на пирамидата. В случая 2.а - е 2 . апотемата на основата? Или се бъркам?

[ammornil]

Благодаря много! Единствено не мога да разбера как точно се преобразува формулата за лице на околна повърхнина от S= (n.b.k) / 2, защото е правилна четириъгълна ли става S = 2.a.k. n - е броя страни, b - дължината на основния ръб, к - апотемата на пирамидата. В случая 2.а - е 2 . апотемата на основата? Или се бъркам?

Ако прочетете в поста горе пише [tex]AB=BC=CD=AD=a[/tex], това са основните ръбове на пирамидата. [tex]k[/tex] е апотемата. Знам, че е малко объркващо, защото апотема започва с "а" но затова се наричат условни означения- не са винаги свързани с името на нещото което означават.
За правилна [tex]n[/tex]-ъгълна пирамида: [tex]S=\frac{1}{2}\cdot{n}\cdot{a}\cdot{k} \\ n=4 \Rightarrow S=\frac{1}{2}\cdot{4}\cdot{a}\cdot{k}=2\cdot{a}\cdot{k}[/tex]
после на мястото на [tex]k[/tex] заместваме с [tex]2\cdot{H}[/tex], защото е казано че височината е половината от апотемата, следователно апотемата е два пъти висoчината.

[tex]H=\frac{k}{2} \Leftrightarrow \frac{H}{1}=\frac{k}{2} \Rightarrow k=2\cdot{H}[/tex]

Надявам се това да Ви е от полза.

Скрит текст: покажи

п.с. Думата апотема е от старогръцки език и означава отстояние (най-краткото разстояние до дадено място), в математиката: в планиметрията, това е отстояние от точка до права, по-точно разстоянието от центъра на кръг до страната на правилен многоъгълник, вписан в кръга; в стериометрията, апотемата е височина на околна стена.

[ptj]

Не разбирам защо задачи решими на 2 реда се правят да изглеждат сложни.

[tex]V= \frac{a^2.h}{3}[/tex] , [tex]S_{ok}=4 \frac{a.2h}{2}[/tex]

[tex]6V=S_{ok} \Leftrightarrow 6 \frac{a^2.h}{3}=4a.h \Leftrightarrow a=2[/tex]