Многочлен

[Kamito]

Да и аз забелязах това и се усъмних дали е възможно...ама все пак...

[allier]

Хахах - изпотила ви е задачата. Няма разлагане по-нататък, само [tex]x^2+x+1[/tex] е множител. Но то не е лесно и за този множител да се сети човек.

[martosss]

Ако имаш сайтове като http://www.wolframalpha.com под ръка никак не е трудно

[Kamito]

Малееееееееееееееее а аз колко се чудих..

[amsara]

Ехаа, това значи, че мъчението ми си е заслужавало..С един куршум - два заека.Задачата на allier и тази на 1089 нали са в край на краищата еднакви, т.е и двете са ми верни.

[Kamito]

Хайде пускайте и други задачи

[Kamito]

Никой ли няма да пусне някоя интересна задачка за разлагане..?

[martin.nikolov]

Стана ми интересно. Многочлена [tex]x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1[/tex] не се разлага над целите числа(и следователно над рационалните), това може да се докаже строго. Над комплексните разбира се всеки се разлага като произведение на линейни. И ако човек знае корените може да го разложи. martos ги е показал по-горе. Над реалните всеки полином с реални коефициенти се разлага на линейни и квадратни множители. Ако не съм сбъркал, а много вероятно, ето това са множителите при разлагането му над реалните числа.

[tex]\left(x^2-\left(\frac14+\frac{\sqrt{5}}4-\frac12\sqrt{\frac32(5-\sqrt{5})}\right)x+1\right)[/tex]

[tex]\left(x^2-\left(\frac14 \left(1-\sqrt{5}+2 \sqrt{\frac{15}2+\frac{3 sqrt{5}}2}\right)\right)x+1\right)[/tex]

[tex]\left(x^2-\left(\frac14+\frac{\sqrt{5}}4+\frac12 \sqrt{\frac32 \left(5-\sqrt{5}\right)}\right)x+1\right)[/tex]

[tex]\left(x^2+\sqrt{-\frac74+\frac{\sqrt{5}}4+\frac12 \sqrt{\frac32 \left(5-\sqrt{5}\right)}}x+1\right)[/tex]

[ins-]

Тази достатъчно интересна ли е:

Да се докаже, че полинома е неразложим на множители (в областта на реалните числа):
[tex]x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+\frac{3}{4}[/tex]

[teo9898]

а може ли да обясниш какво представляват реалните числа че нещо за първи път го чувам чай не се учи в 7-ми клас

[Kamito]

ми реалните числа не се учат в 7 клас.....не знам в точно кой нека мартин николов да обясни, а пък относно задачата ако може нека да е с материала за 7 клас

[ins-]

Реалните в случая е за пълнота. Може и да не се споменава. Приемете, че: "реални числа са всички числа, които са учени в 7-ми клас", а задачата се решава само с алгебрични фокуси, които и по-талантлив 7-класник би могъл да измисли. Известна задача е иначе. Давана е на олимпиади за по-горни класове в Швеция и Унгария.

[martin.nikolov]

Тази достатъчно интересна ли е:

Да се докаже, че полинома е неразложим на множители (в областта на реалните числа):
[tex]x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+\frac{3}{4}[/tex]

Не е добре написано. Над реланите числа неразложимите полиноми могат да са само от първа и втора степен. Този със сигурност се разлага на реалните.

[ins-]

На какви полиноми се разлага, след като е разложим?

[martin.nikolov]

На какви полиноми се разлага, след като е разложим?

В случая на три квадратни.

Но, както казах, задачата е некоректна. Може би условието е, че е неразложим над рационалните числа.

[ins-]

"has no real zeroes" е коректният текст /т.е./ ако това е уравнение - то няма реални корени. Би ли написал квадратните тричлени, на които се разлага полинома?

[martin.nikolov]

"has no real zeroes" е коректният текст /т.е./ ако това е уравнение - то няма реални корени. Би ли написал квадратните тричлени, на които се разлага полинома?

А, задачата е: да се докаже, че няма реални корени. Това е друго. Ето [tex](x^2+x+1)(x^2+x+2)[/tex] този е очевидно разложим, но няма реални корени. За този от задачата не мога да напиша на какво се разлага, коефициентите ще са много кофти числа. Но със сигурност се разлага. Както казах полином с реални коефициенти се разлга на линийни и квадратни множители над реалните числа. Това е съвсем лесно да се съобрази.

[Kamito]

[tex]x^{6}-x^{5}+x^{4}+x^{4}-x^{4}-x^{3}+x^{3}-x^{3}+-x^{2}-x+\frac{3}{4}[/tex]
[tex]x^{6}-x^{5}+x^{4}+x^{4}-x^{4}-x^{3}+x^{3}-x^{3}+-x^{2}-x+1-\frac{1}{4}[/tex]
[tex]x^{4}(x^{2}+1)-x^{3}(x^{2}+1)+x^{2}(x^{2}+1)-x(x^{2}+1)+1-(x^{2})^{2}-\frac{1}{4}[/tex]
[tex]x^{4}(x^{2}+1)-x^{3}(x^{2}+1)+x^{2}(x^{2}+1)-x(x^{2}+1)+(1+x^{2})(1-x^{2})-\frac{1}{4}[/tex]
амии това [tex]\frac{1}{4 }[/tex] не знам как ще стане... за сега вярно ли е?
прибавям и изваждам четвърта и трета степен на x
иначе не знам дали [tex]\frac{1}{4}[/tex] може да си остане така...i после имаме общ множител [tex]x^{2}+1[/tex] .....

[teo9898]

аз стигам до тук с разлагането но явно не е така вие говорите за непонятни за мен неща
ето до къде стигам,но може и да не е вярно
[tex]x(x-1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)+\frac{3}{ 4}[/tex]

[Kamito]

аз стигам до: [tex](x-1)(x^{2}+1)(x^{3}-1)-\frac{1}{4}[/tex] сигурно не е вярно ама.....

[amsara]

Идва ми идеята, че можеш да представиш 1/4 като (x^2+1)/4(x^2+1)
тогава разложеният многочлен добива следния вид
(x^2 + 1)(x^4 - x^3 + x^2 -x +1 - x^2 - 1/(4x^2+4))

(x^2 + 1)(x^4 - x^3 - x +1 - 1/(4x^2+4))
Тези два множитля на практика май доказват, че полиномът си е разложим.

[Kamito]

А то че е разложим, разложим си е ама... просто не знаех как да представя 1/4

[Kamito]

и в крайна сметка само до тук ли се стига повече не може ли да се разлага?

[ins-]

На произведение от типа: (ax+b)(cx+d)(px+q)(mx+k)(lx+t)(zx+f) не може да се разложи това се иска да се докаже. И е така.

[amsara]

И къде от условието става ясно, че полиномът следва да се разложи/съогветно да не може да се разложи на множители от точно този тип. В този вид условието изисква просто да се докаже, че е неразложим полиномът , а горните решения доказват тъкмо обратното.