Многочлен

[martosss]

Това мога да го докажа със СА-СГ Лошото е, че СА-СГ се учи бегло в 7-ми клас( и то само от много надарените )
Но както и да е, ето моя вариант
Ако x<0, то всички събираеми стават положителни, така че целият израз е по-голям от 0, откъдето не може да се разложи
[tex]\frac{1}{2}x^6+\frac{1}{2}x^4\ge x^5\\\frac{1}{2}x^6+\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{16}\ge x^3[/tex]
И последно
[tex]\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{3}{16}\ge x*6\sqrt[6]{\frac{3}{2^{15}}}>x[/tex]
Оттук доказахме, че [tex]x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+\frac{3}{4}>0[/tex] за всяко реално х. Лошото е, обаче, че може да се изнамерят полиноми, които сами по себе си са все пак положителни за всяко х, примерно (x?+x+1)(x?-x+1) нещо такова. Това вече не знам как да го отрека.
моето решение показва, че този полином не може да се разложи до множител от вида (ax+b), но ако е от вида (ax?+bx+c) вече не знам.

[martin.nikolov]

И къде от условието става ясно, че полиномът следва да се разложи/съогветно да не може да се разложи на множители от точно този тип. В този вид условието изисква просто да се докаже, че е неразложим полиномът , а горните решения доказват тъкмо обратното.

Условието е, да се докаже, че полинома няма корени(реални, но в седми клас за други не се говори). Това което вие сте писали по-горе са верни преобразувания, но не са разлагания на множители. Така, че горните "решения" не доказват нищо.

[martosss]

аа, моето доказва, че пълиномът е >0, тоест че няма корени, така че е решение лошото е, че използва СА-СГ, но това е защото ме мързи да потърся правилно разлагане на точни квадрати, което явно може да се направи

[martin.nikolov]

Това мога да го докажа със СА-СГ Лошото е, че СА-СГ се учи бегло в 7-ми клас( и то само от много надарените )
Но както и да е, ето моят вариант
Ако x<0, то всички събираеми стават положителни, така че целият израз е по-голям от 0, откъдето не може да се разложи
[tex]\frac{1}{2}x^6+\frac{1}{2}x^4\ge x^5\\\frac{1}{2}x^6+\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{16}\ge x^3[/tex]
И последно
[tex]\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{3}{16}\ge x*6\sqrt[6]{\frac{3}{2^{15}}}>x[/tex]
Оттук доказахме, че [tex]x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+\frac{3}{4}>0[/tex] за всяко реално х. Лошото е, обаче, че може да се изнамерят полиноми, които сами по себе си са все пак положителни за всяко х, примерно (x?+x+1)(x?-x+1) нещо такова. Това вече не знам как да го отрека.
моето решение показва, че този полином не може да се разложи до множител от вида (ax+b), но ако е от вида (ax?+bx+c) вече не знам.

Това го писах вече няколко пъти, но понеже никой не чете ще го напиша пак.

Всеки полоном с реални коефициенти се разлага на линейни и квадратни множители. Този от задачата се разлага на три квадратни. Задачата не е да се докаже, че е неразложим, че няма реални корени. Това което ти си написал е решение. Просто инс не беше написал условието като хората.

[ins-]

Извинявам се ... грешката е моя. Това, което е направил мартос имах в предвид за решението.
Коректното условие е да се докаже, че уравнението: "полинома = 0" няма реални корени.
Дано задачата с коригирано условие да е била интересна.

[martosss]

Мда, точно така, has no real zroes е няма реални корени,тоест няма решения, а не неразложим, той иначе сигурно може да се разложи. Може дасе опитам да намеря някое по-човешко представяне, защото това е първото, което ми дойде, смисъл само ги напаснах групбо колкот ода се получи вярно, но от естетическа гледна точка е ужасно

[amsara]

ОК, сега разбрах горе-долу за какво иде реч.Но погледнато простичко през погледа на седмокласник, представянето на полином в този му вид не е ли някаква форма на разлагане на множители(доказваща че е все пак разложим), а не само голи незавършени преобразувания.И ако пък са само такива, защо тогава предходните задачи пуснати от 1089 , allier и госпожа Симеонова , се приеха за успешно разложени на множители с единственото изваждане на един квадратен множител ,какъвто беше X^2+X+1...В смисъл не се продължи с опитите за разлагане на полинома, намиращ се във втората скоба, или примерно в третата..Питам за да си изясня картинката.

[martosss]

идеята е, че ако нещо няма реални корени, то е винаги положтиелно (>0). Аз се опитвам да докажа точно това
Първото ми уровнанение е [tex]\frac{1}{2}(x^3-x^2)^2\ge 0\Leftright \fbox{\frac{1}{2}x^6+\frac{1}{2}x^4\ge x^5}[/tex]. Длъжни сме да отбележим, че това е в сила за всяко х.
Аналогично може да се продължи, идеята ни е да докажем, че даденият полином е >0
Ако прехвърлим всички минуси отдясно получаваме, че е нужно до докажем
[tex]x^6+x^4+x^2+\frac{3}{4}\ge x^5+x^3+x[/tex]
И сега се опитваме да отделим точни квадрати, така че това да е вярно, първият от тях е с х на шеста.
Вторият може да стане така:
[tex]\frac{1}{2}(x^3+1)^2\ge 0\Leftright \fbox{\frac{1}{2}x^6+\frac{1}{2}\ge x^3}[/tex]
И сега остава да докажем, че [tex]\frac{1}{2}x^4+x^2+\frac{1}{4}\ge x[/tex] С това събирането на двете кутийки с третото ще ни даде търсеното. Лошото е, че това последното е малко трудно дасе докаже, даже може да не е вярно за малки х, примерно за х=3/4 не е в сила :S Това се получава, защото предишните две не са толкова "силни" сами по себе си. И по-точно второто. В предишния ми пост се използва една теорема, която гласи, че
[tex]\frac{x_1+x_2+x_3+\dots x_n}{n}\ge n\sqrt[n]{x_1x_2x_3\dots x_n}[/tex], което е в сила за положителни числа(в случая х<0 е очевидно решение, затова на практика работя само само с положителни числа= На мястото на тези хиксове слагам някакви числа, а n е броят на събираемите(съответно на множителите отдясно).

[martin.nikolov]

ОК, сега разбрах горе-долу за какво иде реч.Но погледнато простичко през погледа на седмокласник, представянето на полином в този му вид не е ли някаква форма на разлагане на множители(доказваща че е все пак разложим), а не само голи незавършени преобразувания.И ако пък са само такива, защо тогава предходните задачи пуснати от 1089 , allier и госпожа Симеонова , се приеха за успешно разложени на множители с единственото изваждане на един квадратен множител ,какъвто беше X^2+X+1...В смисъл не се продължи с опитите за разлагане на полинома, намиращ се във втората скоба, или примерно в третата..Питам за да си изясня картинката.

Разлагане на множители означава да се представи като произведение. Например [tex](x^2+1)(x^3+x+1)[/tex] е разложено на множители. А [tex](x^2+1)(x^3+x+1)+5[/tex] не е.

[martosss]

Да, именно, а разлагане от този вид, където все пак нито едно от тия няма корени, аз не мога да докажа, че няма

[amsara]

ОК, сега разбрах горе-долу за какво иде реч.Но погледнато простичко през погледа на седмокласник, представянето на полином в този му вид не е ли някаква форма на разлагане на множители(доказваща че е все пак разложим), а не само голи незавършени преобразувания.И ако пък са само такива, защо тогава предходните задачи пуснати от 1089 , allier и госпожа Симеонова , се приеха за успешно разложени на множители с единственото изваждане на един квадратен множител ,какъвто беше X^2+X+1...В смисъл не се продължи с опитите за разлагане на полинома, намиращ се във втората скоба, или примерно в третата..Питам за да си изясня картинката.

Разлагане на множители означава да се представи като произведение. Например [tex](x^2+1)(x^3+x+1)[/tex] е разложено на множители. А [tex](x^2+1)(x^3+x+1)+5[/tex] не е.

Именно защото знам горното, попитах, защо не се приема като разлагане даденото от мен по-горе произведение.Имаме само два множителя, събираемо извън скобата нямаме..Наистина вторият множител е в силно нерационализиран вид, но самият знак за умножение между двете скоби не показва ли необходимото ни в случая, а именно че даденият полином е разложим..
(x^2 + 1)(x^4 - x^3 -x +1 - 1/(4x^2+4))

[ganka simeonova]

амсара, това което си написала или по- скоро цитираш, не е полином.
В знаменятеля не трябва да има неизвестни.

[amsara]

Разбрах, много благодаря. Именно тук ми беше неяснотата.Виждах, че имаме само множители, а същевременно не се приемаше за разложен многочлен. Сега ясно разбрах, какъв е проблемът.Мерси още веднъж!

[ganka simeonova]

Пoлином е израз от вида:
[tex]P_n=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...a_1x+a_0[/tex]

[amsara]

Аха, вече ми е ясна грешката. Затова разлагането, което направих в задачата на allier по-назад в темата се прие за вярно - нямаше х в знаменателя.
(x^2+x+1)(x^8+x^5-x^7+1+x^3-x-x^4)