Разлагане на многочлени

[ptj]

Не съм видял, извинявай. Чудех се дали да не ти кажа още нещо, т.е. как аз разбрах какво е разлагането.

Kazvai,az sym za nauchavaneto na novi neshta, togava se naejih s pravo zaradi zaqdliviq ti post, a ne tolkova zaradi polzvaneto na neuchen ot sedmoklasnicite material.
Nashata gospoja v daskaloto beshe mnogo gotina i ni kazvashe dosta neshta izvyn uchebnata programa.Naprimer, po povod pusnatata po-gore ot 1089 zadacha.Spomenavala e za reciprochni uravneniq i za tova ,che vinagi edin
ot tehnite koreni e -1.Togava sledva ,che pri razlaganeto na polinoma shte imame mnojitel (x+1).Po-kysno shte se probvam s nego.
A ti kaji nachina si,stiga toi da ne syvpada s reshenieto na kamito ot 2-ra stranica.

Ще ти кажа за 2 теореми, за едната вече споменах. За седми клас може и да ти е малко рано, но когато бях в 8-ми в отбора по математика вече ги знаех. Те са следните:

Теорема на Безу: Нека p(x) е полином и a е произволно число.
Тогава остатъкът при деление на p(x) на полинома от първа степен (x-a) е числото p(a)
- стойността на полинома p(x) при x = a.

Теорема на Гаус: Нека [tex]p(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ..... + a_{n-1}x + a_n[/tex]
e полином от n-та степен с цели коефициенти.
Ако [tex]a = s/q[/tex] е рационален корен на уравнението: [tex]p(x)=0[/tex] , то [tex]s[/tex] е делител на [tex]a_n[/tex] и [tex]q[/tex] е делител на [tex]a_0[/tex] .

Не се опитавай да ги запомниш, важното е да умееш да пригалаш следствието от тях.

Именно - aко имаш полином [tex]Pn[/tex]с цели коефициенти със старши член [tex]a_0[/tex] (пред [tex]x^n[/tex]) и свободен член [tex]a_n[/tex], то:
[tex](q.x-s) / Pn[/tex] (дели) само когато [tex]s/a_n[/tex] и [tex]q/a_0[/tex] и [tex]Pn(\frac{s}{q })=0[/tex] .

Да се върнем на твоя пример: разлагането на [tex]x^4+4[/tex].
Имаш старши коефиициент 1 и свободен член 4. Тогава, ако нещо дели [tex]x^4+4[/tex],
може да е само от вида [tex](x-s)[/tex], където [tex]s/4[/tex] . Делители на 4 са [tex]\pm 1;\pm 2;\pm 4[/tex]. Лесно се вижда, че за нито една от тези стойности полинома не се нулира. T.е. той не се дели на полином от първа степен.

Тъй като разглеждания полином е от степен 4, то остава само възможноста той да се разлага на два полинома от 2-ра степен. 1-цата пред коефициента на [tex]x^4[/tex] подсказва, че и пред [tex]x^2[/tex] в двата полинома от 2-ра степепен съответноте коефициенти ще са 1-ци. Освен това коефициентите пред [tex]x[/tex]-вете в 2-те разлагания ще са срещуположни ([tex]a[/tex] и [tex](-a)[/tex] ) - заради нулирането на 3-тите степени на [tex]x[/tex] след разкриването на скобите.

Или се получава това, което аз написах :

[tex]x^4+4=(x^2+a.x+b)(x^2-a.x+c)=0[/tex].

След разкриване на скобите и приравняване на коефициентите пред еднаквите степени:

[tex]c+b-a^2=0[/tex]
[tex]a[b-c]=0[/tex]
[tex]bc=4[/tex]

или а=b=c=2.

П.П. Някой може да каже , че за последното се искат знания за системи, но повечето пъти става и с налучквания.

[b1ck0]

pyj, никога не са ми споменавали тези теореми със имена ... Просто в училище ми показаха Схема на Хорнер и как се ползва и нямах проблеми ..

[amsara]

Bez na praktika da znam ,che tova sa teoremi sys syotvetnite im imena,sledstvieto ot tqh sym polzvala veche v predhodniq si post -tozi za reciprochnoto uravnenie s mnojitel (x+1)pri razlaganeto na polinoma.Upomenala sym che eventualnite koreni na uravnenieto na 1089 sa deliteli samo na svobodniq chlen,tyi kato starshiq koeficient v sluchaq e 1 i ne promenq nishto.No tuk neshtata sa tvyrde lesni, tyi kato svobodniqt chlen e 1,toest eventualnite koreni sa samo 1 i -1.Pri samo dva varianta lesno se zamestva.No estestveno vyznikva vyprosyt kakvo pravim pri golqm kato stojnost svoboden chlen.Dori i starshiqt da e pak edinica za ulesnenie, smetkite sa dosta..Da kajem v edin ot razlojenite po-nazad polinomi,svobodniqt chlen beshe 105.Nima se ochakva da se zamestva posledovqtelno s 1,-1,3,-3,5,
-5,15,-15,21,-21,35,-35,105,-105...

[ptj]

pyj, никога не са ми споменавали тези теореми със имена ... Просто в училище ми показаха Схема на Хорнер и как се ползва и нямах проблеми ..

Тя е за намиране остатъка при деление с (x-a). Близко е, но аз ги използвам в малко по-различен план.

[amsara]

ptj,razbrah go,pri tova napylno No ostava vyprosyt mi za golqm svoboden chlen kato upomenatiq v predhodniq mi post 105.Nima za da razbera dali uravnenieto ima nuli(koreni), sledva da zamestq s vsichkite maj 14 na broj delitelq.

[ptj]

ptj,razbrah go,pri tova napylno No ostava vyprosyt mi za golqm svoboden chlen kato upomenatiq v predhodniq mi post 105.Nima za da razbera dali uravnenieto ima nuli(koreni), sledva da zamestq s vsichkite maj 14 na broj delitelq.

Като се ошлайфаш, на око ще преценяш кои стават и кои не.

[amsara]

ptj, daj nqkoq po-lesna zadachka za postavqne nachaloto na procesa na oshlaifaneto mi.

[ptj]

Аз нямам сборници под ръка. Имам само някакви проблясъци от знания останали от миналото. Сега с ваша помощ се опитвам да си спомня поне част от тях.

П.П. Нали има търсачка. Виж "олимпиади по математика" или "състезания по математика". Руснаците са със светлинни години преди нас, стига да знаеш езика им.

[amsara]

Golqm inat sym,pusnah tyrsachka. namerih si ne osobeno trudno primerche,koeto pyrvo razlojih s poznatite mi ot 7 klas preobrazuvaniq.Sled tova se probvah i po opisaniq ot ptj nachin, ei taka za uprajnenie.I vzeh ,che uspqh mai.
[tex]x^3-2x^2-5x+6[/tex]
Imame starshi koeficient 1,znachi eventualnite koreni sa deliteli samo na svobodniq chlen,toest sa
[tex]\pm 1,\pm 2,\pm 3\pm 6[/tex]
Sys zamestvane poluchavam,che korenite sa [tex]1,-2,3[/tex]
Tyi kato polinomyt e ot treta stepen,v razlojen vid e [tex](x-1)(x+2)(x-3)[/tex]
No za da ne e tolkova prosto i da imam kakvo da si smqtam, prieh che znam sys sigurnost samo korena 1.Togava mnojitelqt (x-1) ochevidno che shte trabva da byde umnojen po drug mnogochlen ot vtora stepen.No koi e toi..
[tex]x^3-x^2-x^2-5x+6[/tex]
[tex]x^2(x-1)-(x^2+5x-6)[/tex]
Prilojih vyprosnata teorema za [tex]x^2+5x-6[/tex]
delitelite sa [tex]\pm 1,\pm 2,\pm 3\pm 6[/tex]Ot tqh koreni sa 1 i -6
[tex]x^2(x-1)-(x-1)(x+6)[/tex]
[tex](x-1)(x^2-x-6)[/tex]
Aide pak teoremata za [tex]x^2-x-6[/tex]
delitelite sa [tex]\pm 1,\pm 2,\pm 3\pm 6[/tex]Ot tqh koreni sa -2 i 3
[tex](x-1)(x+2)(x-3)[/tex]
Malko bezmisleni smetki, no prosto s tqh si obqsnih shemata.

[werblly]

[tex](a+1)(a^2 -b^2 )-(a+b)(a^2-1)=[/tex]
стигам до някъде и после..

[Martin Nikovski]

[tex]\left(a+1\right)\left(a^2-b^2\right)-\left(a+b\right)\left(a^2-1\right)=\left(a+1\right)\left(a-b\right)\left(a+b\right)-\left(a+b\right)\left(a-1\right)\left(a+1\right)=\left(a+1\right)\left(a+b\right)\left[a-b-\left(a-1\right)\right]=[/tex]
[tex]=\left(a+1\right)\left(a+b\right)\left(\cancel a-b-\cancel a+1\right)=\left(a+1\right)\left(a+b\right)\left(1-b\right)[/tex]