Триъгълници , сборник Архимед

[Гост]

В триъгълника АВС ъгъл АСВ е 135 градуса. Точка М е средата на АВ.Ако АА1 и ВВ1 са височини, намерете ъглите на триъгълника А1 В1 М.
Благодаря предварително !

[svetoslav80]

[tex]A_1M[/tex] и [tex]B_1M[/tex] са медиани в правоъгълните триъгълници [tex]ABB_1[/tex] и [tex]ABA_1 => A_1M = AM = MB = B_1M[/tex]
[tex]\angle MAB_1 = \angle AB_1M = \alpha, \angle MBA_1 = \angle MA_1B = \beta[/tex]
[tex]\angle MDC = \angle DCA_1 + \beta = 45^\circ + \beta, \angle CEM = \alpha + 45^\circ[/tex]
От CDME => [tex]\angle DME + \angle MDC + \angle DCE + \angle CEM = 360^\circ[/tex]
[tex]\angle DME + 135^\circ + \alpha + 45^\circ + 45^\circ + \beta = 360^\circ[/tex]
Но от тр. ABC => [tex]\alpha + \beta = 45^\circ => \angle DME = 90^\circ[/tex]
Тр. [tex]A_1MB_1[/tex] е правоъгълен и равнобедрен => [tex]\angle B_1A_1M = 45^\circ, \angle A_1B_1M = 45^\circ[/tex]