Симетрала

[marina1]

9.Докажете, че ако симетралите на катетите в правоъгълен триъгълник се пресичат в средата на хипотенузата в триъгълника.
11. Симетралите на бедрата на равнобедрен триъгълник се пресичат в точка от основата му. Намерете ъглите на триъгълника.

[ева]

11 зад. Нека т.М е пресечната т.на двете симетрали.
От теорията знаем,че всяка точка от симетралата се намира на равни разстояния от краищата на отсечката (на която е симетрала).
В нашия случай т.М[tex]\in[/tex][tex]S_{AC }[/tex] се намира на равни разстояния от т.А и т.С т.е. АМ=СМ [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]АМС е равнобедрен.
Тогава [tex]\angle[/tex]МСА=[tex]\angle[/tex]САМ=[tex]\alpha[/tex]
По същия начин док.,че [tex]\angle[/tex]ВСМ=[tex]\angle[/tex]МВС=[tex]\alpha[/tex] ([tex]\triangle[/tex]АВС е равнобедрен)
[tex]\angle[/tex]САВ+[tex]\angle[/tex]АВС+[tex]\angle[/tex]ВСМ+[tex]\angle[/tex]МСА=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\alpha[/tex]+[tex]\alpha[/tex]+[tex]\alpha[/tex]+[tex]\alpha[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\alpha[/tex]=45[tex]^\circ[/tex] тогава [tex]\angle[/tex]ВАС=[tex]\angle[/tex]АВС=45[tex]^\circ[/tex] ,[tex]\angle[/tex]ВСА=90[tex]^\circ[/tex]

Скрит текст: покажи

Това се потвърждава с Уикипедия-там от чертежите се вижда,че щом пресечната т. на сим-те лежи на една от страните му,то тр-ът е правоъгълен.