Трудна състезателна геометрична задача

[dejavu]

Приятел сподели за тази задача, но немога да се сетя за решението и.Триъгълник АВС , СМ е медиана.Ъгъл АВС=β;ъгъл ВСМ=α;Ъгъл ВАС=3α;Ъгъл АСМ=3β.Да се докаже,че ъгъл АСВ=90 градуса.

[Гост]

Приложи sin теорема за триг. АМС и ВМС, като преди това си получил че < a + < b = 45, от факта че ъглите във всеки триъгълник правят 180.

[monika_at]

Приложи sin теорема за триг. АМС и ВМС, като преди това си получил че < a + < b = 45, от факта че ъглите във всеки триъгълник правят 180.

Браво! Синусова теорема в 7 клас..

[dejavu]

Дори и да можеше с синусова теорема , не виждам как би станало.Коя част от нея използваш пропорционалността на синусите от ъглите с противоположните страни или равенството с диаметъра на описаната окръжност.По подробно ако може го обясни и дали използваш някаква зависимост с синусите на ъгъл и синуса от 3 пъти по голям ъгъл.

[inveidar]

xaxa.png (14.42 KiB) Прегледано 411 пъти

Да допуснем първо, че CM<MB. Тогава можем да построим MD=MB върху лъча МС. Триъгълникът AMD е правоъгълен(медианата е половината от страната) и лесно се доказва, че [tex]\angle ACB>90^0[/tex]. Та значи
[tex]3\beta +\alpha >90^0[/tex]. От друга страна [tex]\alpha +\beta =45^0[/tex](от триъгълника АВС).
От тук лесно получаваме [tex]2\beta >45^0[/tex]([tex]3\beta +\alpha=2\beta+\beta+\alpha[/tex]).
От триъгълника ABD пък имаме [tex]3\alpha +\beta <90^0[/tex] и пак, както по-горе, следва, че [tex]2\alpha <45^0[/tex].
Сега вече е ясно, че [tex]\alpha <\beta[/tex].Но от триъгълника МВС, в който по допускане СМ<MB следва, че [tex]\beta<\alpha[/tex]. Противоречие.
Аналогично достигаме до противоречие, ако допуснем, че CM>MB. Следователно СМ=МВ и триъгълникът АВС е правоъгълен.

От кое състезание е въпросната задача?

[Гост]

Щом не може със синусова теорема, тогава построй описаната окръжност и продължи СМ до пресичането и с окръжността в т. D. Очевидно ABCD e вписан, като диагоналите взаимно се разполовяват и AD = BC. От тука нататък сте Вие.

[inveidar]

Щом не може със синусова теорема, тогава построй описаната окръжност и продължи СМ до пресичането и с окръжността в т. D. Очевидно ABCD e вписан, като диагоналите взаимно се разполовяват и AD = BC. От тука нататък сте Вие.

Не може с описана окръжност, защото се учи в 8 клас. И от какъв зор диагоналите ще се разполовяват?! Виж моето решение по-горе.

[Гост]

Е това за 8-ми клас и описаната окръжност не го знаех. А диагоналите се разполовяват без никакъв зор. Иначе твоето решение е ОК, просто предложих друго.

[dejavu]

Мерси много за решението, а мисля че е от дадена контрола за балканиада или от индонезийска контрола за межународно състезание.Относно решението с окръжноста ако диагоналите се разполовяваха то очевидно М ще е център на тази окръжност и от там ъгълът ще е 90 градуса, но не знам защо си мислиш че се разполовяват или как го доказваш.

[inveidar]

Е това за 8-ми клас и описаната окръжност не го знаех. А диагоналите се разполовяват без никакъв зор. Иначе твоето решение е ОК, просто предложих друго.

Я да ми обясниш, защо се разполовяват диагоналите? Може би се заблуждаваш, че два триъгълника са еднакви по страна и два ъгъла, които не са съответни?