Три задача за 7 клас от разлагане на множители

[Гост]

1. задача:
Да се разложи на множители: 2х³-х²-5х-2

2. задача:
Даден е многочленът А=2х²+ху+8х+3у+6. Да се разожи на прости множители и да се докаже,че ако у=6 и х е цяло положително число, то А се дели на 4.

3. задача:
ако a+b+c+d=0, да се докаже, че а³+b³+c³+d³=3(ab-cd)(c+d)

[Добромир Глухаров]

1.)
[tex]2x^3-x^2-5x-2=2x^3+2x^2-3x^2-3x-2x-2=2x^2(x+1)-3x(x+1)-2(x+1)=\\=(x+1)(2x^2-3x-2)=(x+1)(2x^2-4x+x-2)=(x+1)(2x(x-2)+1.(x-2))=\\=(x+1)(x-2)(2x+1)[/tex]

2.)
[tex]A=2x^2+xy+8x+3y+6=2x^2+xy+2x+6x+3y+6=\\=x(2x+y+2)+3(2x+y+2)=(x+3)(2x+y+2)[/tex]

[tex]y=6;\ x\in\mathbb{N}\Rightarrow A=(x+3)(2x+6+2)=(x+3)(2x+8)=2(x+3)(x+4)[/tex]

[tex]x+3[/tex] и [tex]x+4[/tex] са последователни цели положителни числа [tex]\Rightarrow[/tex] едно от тях е четно [tex]\Rightarrow[/tex] произведението им е четно число. [tex]A[/tex] е равно на два пъти четно число [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]A[/tex] се дели на [tex]4[/tex].

3.)
[tex](a+b+c+d)^3=0[/tex]

[tex]a^3+b^3+c^3+d^3+3a^2b+3ab^2+3b^2c+3bc^2+3c^2d+3cd^2+3a^2d+3ad^2=0[/tex]

[tex]a^3+b^3+c^3+d^3=-3ab(a+b)-3bc(b+c)-3cd(c+d)-3ad(a+d)=\\=3ab(c+d)+3bc(a+d)-3cd(c+d)-3ad(a+d)=3(ab-cd)(c+d)+3(bc-ad)(a+d)[/tex]

[Гост]

МНОГО МНОГО БЛАГОДАРЯ, Добромир Глухаров !!!!

[Добромир Глухаров]

Третата съм я сбъркал .

[tex]a^3+b^3+c^3+d^3=a^3+b^3+c^3+(0-a-b-c)^3=a^3+b^3+c^3-(a+b+c)^3=\\=-3ab(a+b)-3bc(b+c)-3ac(a+c)-6abc[/tex]

[tex]3(ab-cd)(c+d)=3(ab+c(a+b+c))(-a-b)=-3(ab+ac+bc+c^2)(a+b)=\\=-3a^2b-3ab^2-3a^2c-3abc-3abc-3b^2c-3ac^2-3bc^2=\\=-3ab(a+b)-3bc(b+c)-3ac(a+c)-6abc[/tex]

[tex]\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3(ab-cd)(c+d)[/tex]

Много моля за извинение.

[Гост]

Третата съм я сбъркал .

[tex]a^3+b^3+c^3+d^3=a^3+b^3+c^3+(0-a-b-c)^3=a^3+b^3+c^3-(a+b+c)^3=\\=-3ab(a+b)-3bc(b+c)-3ac(a+c)-6abc[/tex]

[tex]3(ab-cd)(c+d)=3(ab+c(a+b+c))(-a-b)=-3(ab+ac+bc+c^2)(a+b)=\\=-3a^2b-3ab^2-3a^2c-3abc-3abc-3b^2c-3ac^2-3bc^2=\\=-3ab(a+b)-3bc(b+c)-3ac(a+c)-6abc[/tex]

[tex]\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3(ab-cd)(c+d)[/tex]

Много моля за извинение.

Моля, не се извинявай Радвам се,че бързо забеляза грешката и коригира решението. Разбрах начина на решаване, благодаря отново!!

[Гост]

Много по-просто е задача 3 да се реши като се използва тъждеството [tex]a^3+b^3=(a+b)^3 -3ab(a+b)[/tex].
Понеже [tex]c+d=-(a+b)[/tex], имаме [tex]c^3+d^3=(c+d)^3-3cd(c+d)=-(a+b)^3+3cd(a+b)[/tex]
Kaто съберем [tex]a^3+b^3+c^3+d^3=3(a+b)(cd-ab)=3(c+d)(ab-cd)[/tex]