Задача от равнобедрен триъгълник!

[vicky69]

Върху бедрата CA и CB на равнобедрения \Delta ABC са взети съответно точките M и N така,че CM=CN. Ако
AN x BM=0,докажете че:

а/ MN II AB
б/ [tex]\Delta[/tex] ABO е равнобедрен.
в/ [tex]\Delta[/tex] MNO е равнобедрен

[kmitov]

kriva.png (21.9 KiB) Прегледано 199 пъти

Триъгълниците [tex]\Delta ANB[/tex] и [tex]\Delta AMB[/tex] са еднакви по първи признак.
( [tex]AB=AB, AM=AC-MC=BC-NC=BN \angle ABN = \angle BAM[/tex])

Следователно [tex]AN=BM[/tex] и [tex]\angle BAN=\angle ABM[/tex].

Taка [tex]\Delta AOB[/tex] равнобедрен.

Освен това [tex]NO=AN-AO=BM-BO=MO[/tex], т.е.
[tex]\Delta MON[/tex] равнобедрен.

Накрая, [tex]\angle ABO = (180-\angle AOB)/2 =(180-\angle MON)/2=\angle ONM[/tex].
Тези ъгли са кръстни при пресичане на [tex]AB[/tex] и [tex]MN[/tex] с [tex]BN[/tex]. Следователно [tex]AB || MN[/tex].