Каква е мярката на ВОС за всеки А от АВС, ако АО=ВО=СО

[Гост]

1.Каква е мярката на <ВОС за всеки <А =α от ∆ АВС , ако АО=ВО=СО?/∆АВС е разностранен, т.О е вътрешна/

[kmitov]

Ъгълът [tex]BOC=2\alpha[/tex], защото [tex]\alpha[/tex] е вписан = дъгата BC/2, a BOC e централен и се опира на същата дъга. ОА=ОB=OC означава, че О е центърът на описаната окръжност.

[Гост]

Това не сме го взели още- описана окр. и вписан ъгъл. Не я разбрах задачата.

[kmitov]

Аз не съм догледал, че е за 7 клас. Извинявам се.

[Гост]

Как се решава задачата?

[Knowledge Greedy]

Разглеждаме трите равнобедрени триъгълника [tex]\Delta ABO[/tex], [tex]\Delta ACO[/tex] и [tex]\Delta BCO[/tex]. Да означим ъглите при основите им с
[tex]x,y[/tex] и [tex]z[/tex] - съответно:
[tex]\angle ABO=\angle BAO=x[/tex]
[tex]\angle ACO=\angle CAO=y[/tex]
[tex]\angle OBC=\angle OCB=z[/tex]
Сборът от ъглите на един триъгълник е [tex]180^\circ[/tex], нали така? Гледаме триъгълник [tex]\Delta ABC[/tex].
Неговите ъгли са [tex]x+y,y+z[/tex] и [tex]z+x[/tex].
Събираме ги.
[tex](x+y)+(y+z)+(z+x)=180^\circ[/tex].
Значи
[tex]2x+2y+2z=180^\circ[/tex].
А сега да разгледаме сбора от ъглите на [tex]\Delta BCO[/tex].
[tex]\angle BOC+z+z=180^\circ[/tex].
Като се вгледаме внимателно в двете последни равенства, виждаме че трябва [tex]\angle BOC=2x+2y[/tex].
Но [tex]2x+2y=2(x+y)=2\alpha[/tex], което г-н kmitov получи на два реда.

[inveidar]

Не е ли по-лесно да продължим АО до пресичането с ВС в точка М. Тогава [tex]\angle BOC=\angle BOM+\angle COM[/tex]. Но ъглите ВОМ и СОМ са външни съответно за триъгълниците АВО и АСО и като такива са равни на сбора на вътрешните два несъседни на тях, т.е. [tex]\angle BOC=\angle BOM+\angle COM=x+x+y+y=2x+2y=2(x+y)=2\angle BAC[/tex].

[monika_at]

И двете са "лесни". Аз лично давам тази задача на моите седмокласници, както я е решил Knowledge Greedy .
Дори я давам като ОЗ (Ако на 1 модул или задача без разписване я срещнат, да я приложат). Иначе изисквам, да умеят решението й, ако се случи на 23 или 24 задача.