Задача за триъгълник и ъглополовящи

[Гост]

В ▲АВС ълъл АСВ=90°и АВ=10см. Ъглополовящите на острите ъгли се пресичат в точка, която е на разтояние2 см от ВС. Намерете Р на ▲АВС в сантиметри.

[Knowledge Greedy]

Хубава задача
В правоъгълен триъгълник хипотенузата е [tex]c=10[/tex], радиусът на вписаната окръжност е [tex]r=2[/tex], полупериметърът минус радиуса [tex]p-c=r[/tex], следователно [tex]p-10=2[/tex] [tex]\Rightarrow p=12[/tex]
Отг. [tex]P=24[/tex].

[math10.com]

Готина задача, но решението няма да го разбере седмокласник.Използваш радиус на вписана окръжност което се учи в 8-ми клас.Пречи ти ,че знаеш повече и не може да се абстрахираш от това.Действително това е най-краткото решение ,но нещата стават много лесно и с еднакви триъгълници.

agl.png (21.72 KiB) Прегледано 389 пъти

[tex]O[/tex] е пресечната точка на ъглополовящите на [tex]\angle ABC,\angle BAC[/tex]
[tex]M,N,P[/tex] са петите на перпендикулярите от [tex]O[/tex] съответно към [tex]AB,BC,AC[/tex]
[tex]\triangle AMO,\triangle APO[/tex] са еднакви по 2-ри признак:
[tex]AO[/tex] - обща и [tex]\angle MAO=\angle PAO , \angle AMO=\angle APO=90^\circ[/tex]
[tex]\Right AM=AP=x ; MO=PO=2[/tex] като СЕЕТ
[tex]\triangle BMO,\triangle BNO[/tex] са еднакви по 2-ри признак:
[tex]BO[/tex] - обща и [tex]\angle MBO=\angle NBO , \angle BMO=\angle BNO=90^\circ[/tex]
[tex]\Right BM=BN=y ; MO=NO=2[/tex] като СЕЕТ
[tex]\triangle CPO,\triangle CNO[/tex] са еднакви по 4-ти признак:
[tex]CO[/tex] - обща и [tex]NO=PO=2 , \angle BMO=\angle BNO=90^\circ[/tex]
[tex]\Right CP=CN[/tex] като СЕЕТ
[tex]\Right ONCP[/tex] е квадрат (Ъглите му са по [tex]90^\circ[/tex] и има 2 равни страни)
[tex]x+y=AM+BM=AB=10[/tex]
[tex]P_{ABC}=AM+BM+BN+CN+CP+AP=x+y+y+2+2+x=4+2(x+y)=4+2.10=24[/tex]

P.P.Това е и доказателството че ъглополовящите се пресичат в една точка , както и доказателството ,че [tex]AM=AP=p-a ; BM=BN=p-b ; CN=CP=p-c[/tex] , където [tex]p[/tex] е полупериметъра на триъгълника , а [tex]a,b,c[/tex] са дължините на страните му.

[Knowledge Greedy]

Съгласен съм . В случая нямаше идентификация за нивото и бях малко припрян.
По принцип тук, когато отговаряме в несъстезателните раздели, трябва да даваме най-разбираемото и с най-малкото необходими и достатъчни знания.