Задача от "Учебна тетрадка N2" на "Архимед"

[Гост]

Моля за помощ за следната задача:
Мога да докажа, че триъгълниците [tex]\Delta[/tex]ARC и [tex]\Delta[/tex]MBC са еднакви (по първи признак).
Мога да докажа, че AR[tex]\bot[/tex]MB, но не мога да се сетя как да докажа, че СО е ъглополовяща.

[Knowledge Greedy]

Навярно първо ще докажеш, че [tex]\Delta CBM[/tex] и [tex]\Delta CRA[/tex] са еднакви, оттук ще следва равенството [tex]\angle CBM=\angle CAR[/tex]. След това определяш, че [tex]MB\bot AR[/tex]. Спусни перпендикуляри [tex]CK\bot AR[/tex] и [tex]CN \bot BM[/tex]. Те са равни като височини към съответните страни на еднаквите триъгълници. Какъв е четириъгълникът [tex]KNCO[/tex]? Правоъгълник с равни съседни страни! Значи е квадрат. Тогава неговият диагонал [tex]CO[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle ROM[/tex]. Нещо повече [tex]\angle MOC=\angle ROC = 45^\circ[/tex].
Да разгледаме сега два триъгълника [tex]\Delta BOC[/tex] и [tex]\Delta AOC[/tex]. Те имат една двойка равни ъгли - от доказаните еднакви триъгълници в началото и още една двойка [tex]\angle BOC=\angle AOC = 135^\circ[/tex], защото съседните им са равни.
Така стигаме до третите им ъгли и следва това, което трябваше да докажем.

[pepsitka]

Да разгледаме сега два триъгълника [tex]\Delta BOC[/tex] и [tex]\Delta AOC[/tex]. Те имат една двойка равни ъгли - от доказаните еднакви триъгълници в началото

Това май не е вярно (освен в случая, когато триъгълник АВС е равнобедрен)

[Knowledge Greedy]

Да, точно така. Оказа се, че ако [tex]CO[/tex] e ъглополовяща на [tex]\angle ACB[/tex], то даденият триъгълник е равнобедрен. Затова навярно в условието трябва да се докаже, че [tex]CO[/tex] e ъглополовяща на ъгъла при [tex]O[/tex] - факт, който доказахме с квадратчето.

[inveidar]

Кое квадратче? KNCO ли? Или онова малкото четириъгълниче в средата на чертежа, което няма шанс посмъртно да стане квадратче? А има и объркани ъгли. Иначе сте прави, че СО е ъглополовяща на ъгъл МОR.

[Knowledge Greedy]

От еднаквостта на [tex]\Delta CBM[/tex] и [tex]\Delta CRA[/tex] следва, че и височините им към съответните страни са равни. Височините, които ни трябват означаваме с [tex]CK[/tex] и [tex]CP[/tex] ( [tex]K[/tex] e върху [tex]AR[/tex], [tex]P[/tex] е върху [tex]BM[/tex]).
Няма спор, че [tex]BM[/tex] и [tex]AR[/tex] са взаимно перпендикулярни. Тогава правоъгълникът с равни съседни страни [tex]KCPO[/tex] e квадрат. Неговият диагонал [tex]OC[/tex] е ъглополовяща на ъгъл [tex]\angle ROM.[/tex]

Квадрати върху страните.PNG (8.42 KiB) Прегледано 480 пъти

Твърдението на задачата обаче изисква [tex]ABC[/tex] да е равнобедрен. Наистина ако [tex]CO[/tex] е ъглополовяща на ъгъл [tex]\angle ACB[/tex], ще излезе, че са равни ъглите [tex]\angle ACP[/tex] и [tex]\angle BCK.[/tex] Но те са съответно равни на [tex]\angle CAR[/tex] и [tex]\angle CBM[/tex], значи триъгълниците [tex]\Delta CBM[/tex] и [tex]\Delta CRA[/tex] са равнобедрени. Тогава [tex]\Delta ABC[/tex] излиза, че е равнобедрен.

[inveidar]

Е, за този четириъгълник съм съгласен. Но това, което пишеше по-горе беше друго.

[pepsitka]

От решението по-горе беше ясно кое е квадратчето, макар че можем да минем и с теоремата-признак за ъглополовяща: Ако една точка е на равни разстояния от раменете на даден ъгъл, тя лежи на ъглополовящата на този ъгъл.