Задача за триъгълник

[Гост]

В един триъгълник височина и медиана разделят ъгъла на 3 равни
части. Намерете ъглите на триъгълника.

[math10.com]

trABC2.png (21.94 KiB) Прегледано 213 пъти

Нека [tex]\angle BAC>\angle ABC[/tex] и нека [tex]CH,CM[/tex] са съответно височината и медианата.
[tex]\angle ACH=\angle HCM= \angle MCB[/tex] по условие
[tex]\angle AHC=\angle MHC=90^\circ[/tex] по условие
[tex]CH[/tex] е обща страна за [tex]\triangle AHC,\triangle MHC[/tex]
[tex]\Right \triangle AHC,\triangle MHC[/tex] са еднакви по 2-ри признак
[tex]\Right AH=HM=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}BM[/tex] като СЕЕТ
Нека [tex]MD\bot BC D\in BC[/tex]
[tex]\angle ACH=\angle HCM= \angle MCB[/tex] по условие
[tex]\angle MDC=\angle MHC=90^\circ[/tex] по условие
[tex]CM[/tex] е обща страна за [tex]\triangle MHC,\triangle MDC[/tex]
[tex]\Right \triangle MDC,\triangle MHC[/tex] са еднакви по 2-ри признак
[tex]\Right MD=MH[/tex] като СЕЕТ
[tex]\triangle MDB[/tex] е правоъгълен по построение и [tex]MD=\frac{1}{2}BM[/tex]
[tex]\Right \angle MBD=30^\circ[/tex] по теорема признак за ъгъл [tex]30^\circ[/tex] в правоъгълен триъгълник.
[tex]\Right \angle BCH=180^\circ -90^\circ -30^\circ =60^\circ[/tex] (от [tex]\triangle BHC[/tex])
[tex]\Right \angle ACH=\angle HCM= \angle MCB=\frac{1}{2}\angle BCH= 30^\circ \Right \angle ACB=3.30^\circ =90^\circ[/tex]
[tex]\Right \angle BAC=180^\circ -90^\circ -30^\circ =60^\circ[/tex]