Сборът от трите медиани в триъгълник е по-малък от периметър

[Гост]

Докажете, че сборът от трите медиани в един триъгълник е по-малък от периметъра му!

[Knowledge Greedy]

Много естествено. Използваме три пъти неравенство на триъгълника. Само че за три различни триъгълници. Всеки от тях има за страна една от удвоените медиани и двете страни, между която тя се намира. Виж единия случай на чертежа.

Медианите и страните.PNG (5.41 KiB) Прегледано 3323 пъти

[tex]AM[/tex] е удвоената медиана [tex]AD[/tex], по нейното продължение след средата [tex]D[/tex] на страната [tex]BC[/tex].
[tex]\left|\begin{matrix}
1. & AD & =MD\\
2. & CD & =BD\\
3. & \angle CDA & =\angle MBD
\end{matrix}\right .[/tex][tex]\Rightarrow \Delta CAD[/tex] е еднакъв на [tex]\Delta AMD[/tex][tex]\Rightarrow CA=BM[/tex]
Означаваме удвоената медиана с [tex]2m_A[/tex]
Прилагаме неравенството на триъгълника за [tex]\Delta ABM[/tex]
[tex]AB+CA>2m_A[/tex]
Аналогично
[tex]BA+CB>2m_B[/tex]
[tex]BC+AC>2m_C[/tex]
Събираме почленно трите неравенства. От лявата страна се получава удвоения периметър на триъгълника, а отдясно - удвоения сбор на медианите на триъгълника. Съкращаваме на 2 и получаваме, че сборът от трите медиани в един триъгълник е по-малък от периметъра му!