Тъпоъгълен триъгълник с две симетрали

[Гост]

За ъглите в [tex]\Delta[/tex]ABC е дадено, че [tex]\alpha[/tex]:[tex]\beta[/tex]:[tex]\gamma[/tex]=13:2:3. Ако SACxBC=M (симетралата на AC пресича BC в т.M), SABxBC=N (симетралата на AB пресича BC в т.N) и SACxSAB=O (двете симетрали се пресичат в т.O), намерете големината на [tex]\angle[/tex]AOM в градуси.

[Knowledge Greedy]

Отг. [tex]\angle AOM=20^\circ[/tex]

А за какво ни беше точка [tex]N[/tex] ?

Решение.
Първо използвайки отношенията намираме ъглите на триъгълника.
След това да означим с [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex] пресечните точки на симетралите с [tex]AB[/tex] и [tex]AC[/tex].
И още - нека [tex]x[/tex] е мярката на ъгъла [tex]\angle AOP[/tex].

Тъпоъгълният триъгълник и симетралите.PNG (11.66 KiB) Прегледано 2214 пъти

Започваме да обикаляме по часовниковата стрелка като използваме свойства на правоъгълните триъгълници и равнобедрените триъгълници (произлезли от свойствата на точките на симетралите).
[tex]\Delta ABO, \Delta PBO, \Delta BCO, \Delta CQO, \Delta CAO, \Delta QAO[/tex]
Записваме последователно ъглите в тези триъгълници (те се получават последователно един от друг).
Вече се вижда, че [tex]\angle POQ =2x-10^\circ[/tex] [tex](\ast)[/tex] (- това изглежда е ъгъл с точките [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex]върху рамената).
Но ако погледнем на ъгъла [tex]\angle POQ[/tex], като ъгъл в четириъгълника [tex]APOQ[/tex] - знаем три от ъглите му (тук прилагаме друго свойство на симетралите - че са перпендикуларни на отсечките, на които са симетрали)
и намираме четвъртия ъгъл [tex]\angle POQ=50^\circ[/tex].
Тогава с представянето [tex](\ast)[/tex] получаваме уравнението [tex]2x-10^\circ=50^\circ[/tex].
Оттук намираме отговора.

[Гост]

Вие, сега, тая задача на незнаещ как се решава ли я обяснихте или доказахте на егото си колко много знаете. Помня, че имаше един гений (не помня името), който в доказателството си на една теорема писал "от тук логично следва" и до ден днешен още си блъскат главите как, аджеба, следва това логичното. Има дори обявена награда от десетки хиляди долари. Пробвайте се. Успех!

[Knowledge Greedy]

от Гост » Пон Май 05, 2014 12:55 pm
Вие, сега, тая задача на незнаещ как се решава ли я обяснихте или доказахте на егото си колко много знаете...

Отсреща име въпрос. Човекът задал въпроса получава отговор. Ако нещо не се разбира, следва нов въпрос.
Може друг колега да се включи с по-кратко, по-красиво, по-качествено решение и дори не с цялостно решение, а само насоки, упътване.
Често човекът задал въпроса, се нуждае само от малко по-различна гледна точка, за да продължи напред с решението.

Някои дори отказват да се включат, защото смятат че помагат на неблагодарни мързеланковци използвачи.
Аз не мисля така. Просто пиша решение. Мога да напиша 8-10 варианта с различно ниво, но както виждам и на Вас времето за критика е само в почивните дни.
Как предлагате да функционира един такъв форум?
Ако имате време, опитайте да обясните. Ако не се интересувате - не си губете времето тук.