Триъгълник

[Гост]

За[tex]\Delta[/tex]АВС са построени височината СD, (D € AB) и ъглополовящата AL (L € BC), които се пресичат в точка M. Ако AL=CD и правата през М е успоредна на АB, пресича АС в точка Р така, че РС=2PA, докажете че триъгълник АВС равностранен.

[kmitov]

km.png (24.85 KiB) Прегледано 327 пъти

Нека [tex]AP=x, PC=2x, DM=y, MC=2y[/tex]. Това е от [tex]PM || AB[/tex].

Понеже АМ е ъглополовяща в триъгълника ADC, то AD:AC=1:2, т.е [tex]AD=\frac{3x}{2}[/tex]

По питагоровата теорема за ADC, следва [tex]AC^2=AD^2+DC^2 \ \ \ \Rightarrow[/tex] [tex](3x)^2=(3y)^2+(3x/2)^2 \Rightarrow[/tex] [tex]y=\frac{\sqrt{3}x}{2}[/tex]


Така [tex]DM=\frac{\sqrt{3}x}{2}[/tex] и [tex]CM=\sqrt{3}x[/tex]

От правоъгълния триъгълник ADM по питагоровата теорема се пресмята, че [tex]AM=\sqrt{3}x[/tex] и понеже АL=CD, то
[tex]ML=MD=\frac{\sqrt{3}x}{2}[/tex]

Следователно триъгълниците AMC и DML са подобни с коефициент на подобие 2:1. Това означава, че DL e средна отсечка. Следователно CD e височина и медиана, следователно CA=CB. От друга страна AL е ъглополовяща и медиана, следователно AC=AB. Tака AB=AC=BC.

[Гост]

Темата е седмокласна. Какъв Питагор, какво подобие, какви корени? Горките седмокласници, сигурно мигат на парцали

Задачата лесно се решава по следния начин:
-докзава се с помощта на кръстни ъгли , че триъгълник АМР е рванобедрен(АР=РМ=х)
-РМ=х, РС=2х => <РСМ=30°
-доказва се еднаквостта на триъгълниците ADC и CLA
- ъглите А и С са равни като СЕЕТ
-триъгълникът е равностранен

[kmitov]

Да, вярно. Не съм погледнал за кой клас е задачата. Извинявам се на седмокласниците, които са мигали на парцали.